CURSO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
(Cálculo Vectorial)
Autor: Eleonora Catsigeras
IMERL. Facultad de Ingeniería. Universidad de la República.
Montevideo, Uruguay, Marzo de 2001.
Derechos reservados
Producido con financiación parcial de la Comisión Sectorial de Enseñanza de la Universidad de la República, y del IMERL.Colaboró en el diseño de esta página el Sr.Miguel Eyheralde.

 FINAL DEL CURSO: PROGRAMA DE AUTODESTRUCCIÓN 

CAPÍTULO 1.     CURVAS PARAMÉTRICAS.

  Clase 1.  Definición de curvas paramétricas, ejemplos, circunferencia, elipse, hélice, cicloide.  Ejercicios: del 1 al 3 del repartido de ejercicios.     Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 2.  Vector velocidad y versor tangente. Longitud y abscisa curvilínea. Ejercicios: del 4 al 7 del repartido de ejercicios.  Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 3.  Curvatura de curvas planas, versor normal. Astroide. Ejercicios: del 8 al 9 del repartido de ejercicios.               Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 4.  Curvas planas cerradas simples, sentido antihorario, teorema de Jordan, curva C^1 a trozos. Cambio de parámetros, cálculo de áreas encerradas, área encerrada por una elipse.  Áreas de sectores en coordenadas polares. Ejercicios: del 10 al 11 del repartido de ejercicios.           Pizarrones y bibliografía.     

  CAPÍTULO 2.  INTEGRALES CURVILÍNEAS, UNO-FORMAS,  CAMPOS y OPERADORES DIFERENCIALES.

  Clase 5.  Definición de uno-forma diferencial o forma diferencial lineal. Definición de integral curvilínea. Independencia de la parametrización. Ejemplos de cálculo. Aditividad de la integral en suma de curvas. Cambio de signo de la integral al cambiar la orientación de la curva.  Ejercicios: del 12 al 16 del repartido de ejercicios.       Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 6.  Definición de campo vectorial. Ejemplo de campo plano. Campo asociado a una uno-forma. Circulación de un campo a lo largo de una curva orientada. Flujo de un campo plano a través de una curva plana orientada. Ejercicios: del 17 al 18 del repartido de ejercicios.    Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 7.  Uno-formas exactas y cerradas. Definiciones, teorema y ejemplo. Potenciales escalares. Ejemplo de una uno-forma cerrada que no es exacta. Campos de gradientes e irrotacionales. Ejercicio 19 del repartido de ejercicios.     Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 8. Operadores diferenciales. Gradiente de una función escalar. Demostración de que es intrínseco. Rotor y divergencia de un campo. Laplaciano de una función escalar. Ejercicios: del 30 al 33 del repartido de ejercicios.      Pizarrones y bibliografía.     

CAPÍTULO 3.       TEOREMAS RELATIVOS A UNO-FORMAS EXACTAS Y CAMPOS DE GRADIENTES.

  Clase 9.  Integrales curvilíneas de uno-formas exactas o campos de gradientes. Teorema de la diferencia de potencial. Conjuntos conexos, componentes conexas. Cálculo de un potencial escalar. Teorema de caracterización de uno-formas exactas o campos de gradientes. Ejercicios: del 20 al 21 del repartido de ejercicios.    Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 10.  Conjuntos simplemente conexos, deformación continua de curvas, homotopías, curvas homotópicas.  Ejercicios: del 22 al 23 del repartido de ejercicios.      Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 11.  Teorema fundamental de las uno-formas exactas o campos de gradientes. Enunciado y demostración.  Ejercicios: del 22 al 25 del repartido de ejercicios.   Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 12.  Campos irrotacionales y uno-formas cerradas en el plano sin un punto Po: integrales de curvas cerradas que no redean a Po, período alrededor de Po, condición para que la uno-forma sea exacta o el campo sea de gradientes.  Ejercicios: del 26 al 29 del repartido de ejercicios.   Pizarrones y bibliografía.     

CAPÍTULO 4.  TEOREMAS DE GAUSS Y DE STOKES EN EL PLANO.

Clase 13.  Enunciados y ejemplos de los teoremas de Gauss o de la diveregencia, y de Stokes o del rotor, en el plano. Demostración de la fórmula del área encerrada por una curva plana cerrada simple.  Ejercicios: del 34 al 38 del repartido de ejercicios.    Pizarrones y bibliografía.     

Clase 14.  Demostración del Teorema de Gauss en el plano. Corolarios de Gauss y Stokes: el rotor y la divergencia son intrínsecos. Ejercicios: del 39 al 40 del repartido de ejercicios.   Pizarrones y bibliografía.     

Clase 15.  Teoremas o fórmulas de Green en el plano: enunciados y demostraciones. Aplicación: unicidad de la solución a la ecuación de Laplace en el plano, con dato de contorno.  Ejercicios: del 41 al 43 del repartido de ejercicios.   Pizarrones y bibliografía.     

CAPÍTULO 5.  SUPERFICIES EN EL ESPACIO REAL TRIDIMENSIONAL.

  Clase 16.  Superficies en el espacio R^3. Definición de parametrización y de superficie parametrizada con o sin borde. Ejemplos. Definición global de superficie sin borde. Parametrizaciones de la esfera y del toro. Superficies compactas conexas (cerradas simples): exterior e interior.   Ejercicio 46 del repartido de ejercicios.   Pizarrones y bibliografía.     

Clase 17.  Plano tangente a una superficie. Versores normales. Orientación de superficies. Ejemplo: la normal saliente a la esfera. Primera forma fundamental de superficies.    Ejercicios del  44 al 49 del repartido de ejercicios.  Pizarrones y bibliografía.     

CAPÍTULO 6.     INTEGRALES SOBRE SUPERFICIES Y DOS-FORMAS DIFERENCIALES.

  Clase 18.  Área de una superficie parametrizada. Integral de una función escalar sobre una superficie. Áreas de la esfera y del toro. Ejercicios: del 50 al 52 del repartido de ejercicios.   Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 19.  Flujo de un campo en el espacio a través de una superficie orientada. Dos-formas diferenciales. Integrales de dos-formas sobre superficies. Cálculo de volúmenes encerrados. Ejercicios: del 53 al 55 del repartido de ejercicios.    Pizarrones y bibliografía.     

CAPÍTULO 7.    PRODUCTO EXTERIOR Y DERIVADA EXTERIOR DE FORMAS DIFERENCIALES.

  Clase 20.  Producto exterior de uno-formas. Definición y propiedades.  Ejercicios: del 56 al 59 del repartido de ejercicios.   Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 21.  Tres-formas diferenciales. Ejercicios: del 60 al 63 del repartido de ejercicios. Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 22.  Derivada exterior de formas diferenciales. Derivada exterior segunda es siempre nula.  Ejercicios: del 64 al 65 del repartido de ejercicios.     Pizarrones y bibliografía.     

CAPÍTULO 8.  DOS-FORMAS CERRADAS Y EXACTAS Y POTENCIAL VECTORIAL.

Clase 23.  Derivada exterior de uno-forma sobre una superficie parametrizada. Dos-formas cerradas y exactas. Campos solenoidales y de rotores. Ejercicio: número 66 del repartido de ejercicios.    Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 24.  Teorema de existencia de potencial vector. Construcción de potencial vector. Ejemplo.  Ejercicio: número 67 del repartido de ejercicios.    Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 25.  Diferencia de potenciales vectoriales. Ejemplo.  Ejercicio: número 67 del repartido de ejercicios.  Pizarrones y bibliografía.     

CAPÍTULO 9.    TEOREMAS DE GAUSS Y DE STOKES EN EL ESPACIO.

  Clase 26.  Integral sobre una superficie en sentido global. Volúmenes encerrados por superficies compactas conexas en el espacio tridimensional. Ejercicios: del 68 al 70 del repartido de ejercicios.         Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 27.  Teorema de Gauss o de la divergencia en el espacio. Enunciado y ejemplos. Ejercicios: del 71 al 75 del repartido de ejercicios.  Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 28.  Teorema de Gauss o de la divergencia en el espacio. Demostración y corolarios.  Ejercicios: del 77 al 81 del repartido de ejercicios. A  Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 29.  Teoremas o fórmulas de Green en el espacio. Enunciados, demopstraciones y aplicaciones a la ecuación de Laplace.  Ejercicio: número 76 del repartido de ejercicios.     Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 30.  Teorema de Stokes o del rotor en el espacio. Enunciado y ejemplos.  Ejercicios: del 82 al 85 del repartido de ejercicios.  Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 31.  Teorema de Stokes o del rotor en el espacio. Demostración y corolarios.  Ejercicios: del 86 al 89 del repartido de ejercicios.   Pizarrones y bibliografía.     

CAPÍTULO 10.    ECUACIÓN DE LAPLACE, ECUACIONES DE MAXWELL Y ECUACIÓN DE ONDAS.

  Clase 32.  Teorema del valor medio para la ecuación de Laplace. Ecuación de Laplace en coordenadas polares del plano.   Ejercicio 90 del repartido de ejercicios.      Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 33.  Ecuación de Laplace en un círculo plano. Soluciones trigonométricas, superposición finita y fórmula de Poisson.    Ejercicio 91 del repartido de ejercicios.    Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 34.  Ecuaciones de Maxwell en el vacío. Consecuencias de los teoremas de Gauss y Stokes en el espacio para los campos eléctrico y magnético. Ecuación de Laplace para el potencial eléctrico.    Ejercicio 92 del repartido de ejercicios.     Pizarrones y bibliografía.     

  Clase 35.  Ecuación de ondas para los campos eléctrico y magnético. Soluciones por propagación de la ecuación de ondas en el espacio.    Ejercicio 92 del repartido de ejercicios.    Pizarrones y bibliografía.