Seminario de Sistemas Dinámicos 2021

Durante 2021 el seminario de sistemas dinámicos se está realizando los viernes a las 14hs por zoom.

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Coordinadores del seminario 2021:
Juan C. Morelli: jmorelli@fing.edu.uy
Alfonso Artigue: aartigue@litoralnorte.udelar.edu.uy

Dominios de discontinuidad para representaciones de Anosov.
León Carvajales, UdelaR, 29/10/2021
Resumen. Las representaciones de Anosov fueron introducidas por Labourie y generalizadas por Guichard-Wienhard. Se trata de una clase estable de encajes cuasi- isométricos de grupos hiperbólicos en grupos de Lie semisimples, y generalizan la noción de representación convexa co-compacta en curvatura negativa. La definición original es dinámica y, si bien hoy conocemos caracterizaciones más geométricas, es un problema interesante encontrar estructuras geométricas asociadas a las mismas. En esta charla mostraremos cómo asociar a cada representación de Anosov un dominio de discontinuidad en distintos espacios homogéneos del grupo de Lie de llegada, generalizando trabajos de Guichard- Wienhard y Kapovich-Leeb-Porti. Se trata de un trabajo en progreso realizado en colaboración con Florian Stecker (University of Texas at Austin).

Conjetura de Mendes sobre Anosov en el plano.
Jorge Groisman, UdelaR, 15/10/2021
Resumen. Un difeomorfismo en el plano es Anosov si tiene una estructura hiperbólica en todo punto. Además de los automorfismos lineales hiperbólicos, las traslaciones del plano también admiten una estructura de Anosov (la existencia de estas estructuras para traslaciones fueron demostradas por White, W. en los 70´s). Mendes, P. conjeturó (1977) que los ejemplos antes mencionados dan lugar a las únicas clases de conjugación para los difeomorfismos de Anosov en el plano. Recientemente Matsumoto, S. mostró un ejemplo de un difeomorfismo de Anosov en el plano sin puntos fijos que no es conjugado a una traslación lo cual prueba que la conjetura de Mendes es falsa. En nuestro trabajo realizado en conjunto con Nitecki, Z. probamos que la conjetura de Mendes es verdadera en el caso que el difeo sea el tiempo uno de un flujo. Es interesante que esto se logra demostrando un resultado para foliaciones invariantes por el tiempo uno de un flujo. Nuestro trabajo y el de Matsumoto son casi contemporáneos a tal punto que Matsumoto construye su ejemplo considerando entre otras cosas el resultado sobre foliaciones antes mencionado.

Expansive flow-models
Katrin Gelfert (UFRJ-Brasil), 1/10/2021
Resumen. I will consider a class of geodesic flows of compact surfaces (of higher genus and nonpositive curvature), which constitute important examples of nonuniformly hyperbolic flows. I will study certain topologically hyperbolic flows which occur as their (time-preserving) topological factors. I will discuss some tools to study their thermodynamic properties and, in particular, measure(s) of maximal entropy and equilibrium states for the scaled geometric potential. This talk is about joint work with Rafael Ruggiero and Dominik Kwietniak.

Minimales inestables y flujos de Anosov discretizados
Santiago Martinchich, UdelaR-UParisSaclay, 24/9/21
Resumen. Decimos que un mapa f es un flujo de Anosov discretizado si es un parcialmente hiperbólico con central unidimensional tal que para todo x la imagen f(x) se obtiene como el tiempo t(x) de cierto flujo tangente al fibrado central, para cierta función continua t. El objetivo de la charla será exponer un resultado de unicidad de minimales inestables (y por lo tanto, unicidad de atractores) para flujos de Anosov discretizados. Se trata de un trabajo en colaboración con Nancy Guelman. Si el tiempo lo permite trataré de contar algo más de lo que estoy haciendo sobre flujos de Anosov discretizados, como por ejemplo que se trata de una clase C^1 abierta y cerrada dentro de los sistemas parcialmente hiperbólicos.

Billares y gravitones de juguete.
Alfonso Artigue, UdelaR, 3/9/2021
Resumen. Consideraremos la dinámica de partículas de masa positiva y negativa colisionando elásticamente en la recta. Mostraremos que estos sistemas son equivalentes a billares inducidos por productos internos de signo definido o indefinido. Caracterizamos los sistemas con finitas colisiones. Mostraremos que una partícula de masa negativa entre dos masas positivas se comporta como una partícula atractora, generando una aceleración discreta si la energía cinética total es negativa. Si la masa de la partícula del medio (el gravitón de juguete) tiende a cero pero con energía cinética total constante y negativa entonces la dinámica responde a un potencial de la forma U(r)=-k/r^2.

Espacios de Deroin y laminaciones invariantes.
Joaquín Brum, UdelaR, 20/8/2021
Resumen. El espacio de Deroin Der(G) de un grupo finitamente generado G es, en términos groseros, el espacio de representaciones de G en el grupo de homeomorfismos de la recta. Describiremos algunos aspectos de Der(G) donde G es el grupo de Thompson F o un grupo soluble cualquiera. Haciendo esto aparecerá naturalmente el concepto de laminación invariante de la recta. Intentaremos mostrar cómo, en estos casos, las laminaciones invariantes proveen de una estructura útil para el estudio de Der(G). Este es un trabajo en colaboración con Nicolás Matte Bon, Michele Triestino y Cristóbal Rivas.

Principios variacionales restrictos para sistemas parcialmente hiperbólicos.
Lorenzo J. Díaz, PUC - Río - Brasil, 6/8/2021
Resumen. Presentaremos una clase de sistemas hiperbólicos definidos como productos "torcidos" con fibra $S^1$ y base el shift de dos símbolos. La dinámica del sistema es transitiva y la dinámica fibrada presenta áreas de contracción y expansón que se mezclan. Estas dinámicas presentan medidas ergódicas no hiperbólicas (esto es cuyo exponente fibrado es nulo) con entropia positiva. Estudiaremos el problema de como la entropia de las medidas no-hiperbólicas aproxima la entropia del conjunto de puntos con exponente fibrado nulo. Finalmente, veremos como este tipo de sistemas está relacionado con los denominados cociclos elípticos y pondremos nuestros resultados en el contexto del teorema de Furstenberg sobre positividad del exponente de Lyapunov para medidas de Bernoulli. Trabajo en colaboración con K. Gelfert (UFRJ, Brasil) y M. Rams (IMPAN, Polonia).

C^r densidad de accesibilidad para parcialmente hiperbólicos con central bidimensional.
Luis Pedro Piñeyrúa, UdelaR, 2/7/21
Resumen. La conjetura de accesibilidad de Pugh-Shub afirma que dentro de los difeomorfismos parcialmente hiperbólicos existe un conjunto C^r abierto y denso de difeomorfismos accesibles (y por ende ergódicos via un argumento tipo Hopf). Hasta la fecha la conjetura sigue abierta en su generalidad aunque hay varios resultados importantes que dependen tanto de la topología como de la dimensión del fibrado central. En esta charla vamos a presentar un resultado que afirma que la conjetura es cierta en el caso central bidimensional bajo las hipótesis de coherencia dinámica, plaque-expansivity, center bunching y 2-normally hiperbolic (muchas hipótesis pero no tan disparatadas!). Este es un trabajo en conjunto con Martin Leguil.

Dinámica de funciones multivaluadas expansivas.
José L. Vieitez, DMEL - UdelaR, 18/6/21
Resumen. Por definición una función multivaluada no es una función, pero así se llaman. Estudiaremos mapas multivaluados $F:M\multimap M$ donde $M$ es una variedad compacta y conexa, $dim(M)>0$. Existe en la literatura una definición de mapas multivaluados expansivos debida a Richard Williams con el nombre de mappings. Nosotros daremos una definición diferente y también analizaremos propiedades de la definición dada por Williams. Daremos algunos ejemplos y, si hay tiempo, mostraremos dos situaciones: A) la entropía topológica de estos mapas es positiva (puede ser infinita). B) hay ejemplos de puntos estables para estos ''mappings''. En realidad ejemplos en donde todos los puntos de $M$ son estables. Estas funciones multivaluadas aparecen en Matemática Económica con el nombre de ''Correspondences''.

Ojos de Bowen en flujos irracionales reparametrizados con stopping points.
Martin Andersson (UFF-RJ-Brasil) - 4/6/21
Resumen. En esta charla voy a hablar sobre flujos en el toro para los cuales los promedios de Birkhoff no convergen. Los flujos son obtenidos como reparametrizacions de flujos irracionales excepto en dos puntos, donde hay singularidades. Este es un trabajo en colaboración con Pierre-Antoine Guihéneuf.

Entropía Abstracta.
Mauricio Achigar – DMEL – UdelaR – 21/5/21
Resumen. En la literatura existen diversas teorías de entropía. Las más conocidas son la entropía métrica de funciones medibles que preservan medida (Kolmogorov, Sinaí) y la entropía topológica de mapas continuos (Adler, Konheim, McAndrew, Bowen). Sin embargo hay también varias otras, como la dimensión media para mapas continuos (mean dimensión, de Lindenstrauss), la entropía algebraica para homomorfismos de un grupo abeliano (Wiess), la entropía algebraica adjunta para homomorfismos de un grupo abeliano (Dikranjan, Giordano Bruno, Salce), y muchísimas más. En la charla comentaré la definición de algunas de estas entropías y mostraré un conjunto de axiomas sobre el cual se puede construir una teoría unificada de la mayoría de estas entropías, que permite deducir las propiedades principales. En este contexto general se tiene también una noción de expansividad, que generaliza la noción usual en un espacio métrico, de la cual mencionaré las ideas generales.

Rayos geodésicos del problema de N-cuerpos.
Ezequiel Maderna – IMERL – UdelaR – 7/5/21
Resumen. Para el problema newtoniano de cuerpos N, consideramos la métrica de Jacobi-Maupertuis de los niveles de energía no negativos. Mostramos que los rayos geodésicos son expansivos, es decir, todas las distancias entre los cuerpos deben ser funciones divergentes. Más precisamente, demostramos que la evolución de tales movimientos se descompone asintóticamente en partículas libres y subsistemas en expansión completamente parabólica. El teorema se aplica en particular a las curvas características máximas de cualquier solución de viscosidad global dada de la ecuación estacionaria de Hamilton-Jacobi H(x,dxu)=h.