CURSO 2003 DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS REAL

                                                                   NOTAS COMPLEMENTARIAS   

 

UNICIDAD DE LA MEDIDA DE BOREL FINITA EN LA RECTA DADA LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA.

                                      Eleonora Catsigeras, 4 de abril de 2003

 

Ejercicio 9 del práctico 1.  Demostrar lo siguiente:

 

TEOREMA

Si mu y nu son dos medidas de Borel finitas en la recta tales que

mu (-infty, x] = nu (-infty,x] para todo x en R, entonces mu = nu.

 

 

  Hay varias formas alternativas de probarlo según lo que cada estudiante haya estudiado y tenga demostrado en la teoría, antes de hacer el ejercicio. Aquí van algunas de las alternativas posibles:

 

 

 

ALTERNATIVA 1: Sin usar el teorema de Carathéodory ni sus corolarios (que al 4 de abril todavía no vimos en las clases teóricas).

 

Usando las propiedades de continuidad y otras de cualquier espacio de medida, y las propiedades de sigma-algebra generada, se sugiere lo siguiente:

 

Sea E la familia  de los borelianos E tales que mu(E) = nu (E).

 

Probar que todo intervalo (a,b] está en E; todo intervalo abierto está en E, todo abierto U (en R todo abierto U es unión numerable de intervalos abiertos disjuntos dos a dos) está en E.  La familia E    es cerrada en complementos, luego contiene a todos los cerrados K.

 

 Dada la medida de Borel finita mu,  considerar la familia M (mu) de todos los borelianos B que cumplen lo siguiente:

 

Para todo epsilon >0 existe un cerrado K y un abierto U tales que

                 K contenido en B contenido en U

                    mu (U\B),  mu (B\K) < epsilon

 

Probar que la familia M (mu)  es una sigma álgebra, y que contiene

a todos los intervalos abiertos.  (Da un poco de trabajo probar que

la familia es cerrada en uniones numerables: para eso recordar que la medida de una unión numerable es el límite de la medida de uniones finitas.)

 

 Probar que si B pertenece a M (mu)  entonces mu(B) = nu (B)

 

 

 

ALTERNATIVA 2:  Usando el directo del siguiente teorema ya enunciado en la clase teórica del 3 de abril (en dicha clase el directo no fue demostrado todavía pero el recíproco sí). Teorema 1.16 del libro de Folland; el directo es un corolario del Teorema de Carathéodory que todavía no vimos en el curso teórico.

 

TEOREMA: Medidas de Borel Acotadas (MBA) en conjuntos acotados.

 

Directo: Si F de R en R es una función creciente y semicontinua superiormente, entonces existe una única medida MBA tal que

           (*)         mu ((a,b]) = F(b) - F(a)

para todos reales a y b, con a menor o igual que b.

 

Recíproco: Si mu es una medida MBA entonces existe y es única a menos de una constante, una función F de R en R que cumple (*).

Además toda función F que cumpla (*) es semicontinua superiormente y creciente.

 

 

 

ALTERNATIVA 3:

Usando el Teorema de Carathéodory (Teorema 1.11 del libro de Folland), y en particular su Corolario de extensión única de premedida a medida(Teorema 1.14; todavía no lo enunciamos ni demostramos en las clases teóricas).

 

Definir la familia A de todas las uniones finitas de intervalos de la forma (a,b], (-infty, b], (a, + infty) y demostrar que A es un álgebra.

La medida de Borel mu,  restringida al álgebra A,  es una premedida (definición en la página 30 del libro de Folland).

 

 

 

ALTERNATIVA 4. Usando el Teorema de regularidad de medidas MBA  que todavía no enunciamos ni demostramos en el teórico (Teorema 1.18 del Folland; o sino el Lemma 1.17)

 

 Demostrar que mu(U) = nu(U) para todo abierto U de la recta.