TEORIA ERGODICA

Eleonora Catsigeras

Apuntes para el curso de Maestría en Matemática.

Marzo de 2005.

CAPITULO 2 ERGODICIDAD Y MIXING

1 Teoremas ergódicos

Definición 1.1 Sea T : X ↦ X medible que preserva una medida de probabilidad μ (no necesariamente ergódica). Sea f ∈ L^{p}(μ) para 1 ≤ p ∈ IN.

Se denota con f̃^{+} o simplemente con f̃ al límite de los llamados promedios orbitales de Birkhoff hacia el futuro de f, en los puntos x ∈ X donde exista, esto es:

f̃^{+}(x) = lim_{n→+∞} \frac{1}{n}(f(x) + f ∘ T (x) + … f ∘ T^{n−1})

Si además T es invertible, se denota con f̃^{−} al límite de los promedios orbitales de Birkhoff hacia el pasado, en los puntos x donde está definido, esto es:

f̃^{−}(x) = lim_{n→+∞} \frac{1}{n}(f(x) + f ∘ T^{−1}(x) + … f ∘ T^{−(n−1)}(x))

Teorema 1.2 Teorema ergódico de Birkhoff-Khinchin Si T : X ↦ X es medible que preserva una medida de probabilidad μ entonces:

a) Para toda f ∈ L^{1}(μ) existe f̃(x) = lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x) μ-c.t.p. x ∈ X.

b) f̃ es T -invariante, es decir : f̃∘ T = f̃ μ-c.t.p. Más aún, para todo x ∈ X existe f̃(x) si y solo si existe f̃(T (x)) y en ese caso f̃(x) = f̃(T (x)).

c) Si f ∈ L^{p}(μ) ⊂ L^{1}(μ) para p ∈ IN, p ≥ 1, entonces f̃ ∈ L^{p}(μ) y la convergencia es también en L^{p}(μ).

d) ∫ f dμ = ∫ f̃dμ

Demostración: Ver las secciones 1 y 2 del complemento al capítulo 2 de estas notas. Alternativamente ver las páginas 114 a 122 del texto Introducao à Teoría Ergódica, de Ricardo Mañé. Ed. IMPA Projeto Euclides, Río de Janeiro, 1983.

Corolario 1.3 Promedios orbitales hacia el futuro y hacia el pasado. Si T es medible, invertible, con inversa medible, y preserva una medida de probabilidad μ, entonces para toda f ∈ L^{1}(μ) se cumple f̃^{+} y f̃^{−} existen μ-c.t.p. y son iguales f̃^{+} = f̃^{−} μ-c.t.p.

Ejercicio 1 Probar el corolario 1.3. (Sugerencia: ver Mañé, página 123.)

Corolario 1.4 Promedios de medida de transitividad medible.

Para todos A y B medibles existe el límite:

lim_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} μ(T^{−j}(A) ∩ B)

Demostración:

I_{n} = \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} μ(T^{−j}(A) ∩ B) = \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} ∫ χ_{T^{−j}(A)}χ_{B} dμ = ∫ (\frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} χ_{A} ∘ T^{j})χ_{B} dμ

El integrando a la derecha de la igualdad anterior está dominado por 1 ∈ L^{1}(μ). Por el teorema de convergencia dominada lim I_{n} = ∫ χ̃_{A}χ_{B} dμ □

Corolario 1.5 Una generalización del teorema ergódico de Birkhoff-Khinchin.

Sea T : X ↦ X medible que preserva una medida de probabilidad μ. Sea f_{n} ∈ L^{1}(μ) una sucesión de funciones, dominada por f_{0} ∈ L^{1}(μ), que converge μ-c.t.p. y en L^{1}(μ) a f ∈ L^{1}(μ). Entonces

lim_{n→+∞} ∑_{j=0}^{n−1} f_{j} ∘ T^{j} = f̃

μ-c.t.p. y en L^{1}(μ).

Ejercicio 2 Demostrar el corolario 1.5. Sugerencia: Basta probarlo para f_{n} ≥ 0; f_{n} → 0 c.t.p. Sea G_{k}(x) = sup_{n≥k}{f_{n}(x)}. Entonces G_{k} → 0 c.t.p., y por convergencia dominada ∥G_{k}∥_{L^{1}} → 0. Sea G̃_{k} = lim_{n→∞}(1/n) ∑_{j=0}^{n−1} G_{k} ∘ T^{j}. La sucesin G̃_{k} es decreciente con k y por el lema de Fatou

0 ≤ ∫ lim G̃_{k} dμ ≤ lim ∫ G̃_{k} dμ = lim ∫ G_{k} dμ = 0

Luego G̃_{k} → 0 c.t.p..

lim sup_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f_{j} ∘ T^{j}(x) = lim sup_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{j=k}^{n−1} f_{j} ∘ T^{j}(x) ≤ G̃_{k}(x)

Definición 1.6 Dado A conjunto medible, se denomina tiempo medio de estadía τ_{A}(x) de un punto x ∈ X en A, al siguiente límite, cuando existe:

τ_{A}(x) = lim_{n→+∞} \frac{1}{n}#\{j ∈ IN : 0 ≤ j ≤ n − 1, T^{j}(x) ∈ A\}

Ejercicio 3 Probar el siguiente teorema:

El tiempo medio de estadía τ_{A} existe μ-c.t.p. y además la convergencia es en L^{p}(μ) para todo p ≥ 1 natural. Además ∫ τ_{A} dμ = μ(A). Sugerencia: Observar que el tiempo medio de estadía en A es la función τ_{A} = χ̃_{A}. Aplicar el teorema ergódico de Birkhoff-Khinchin.

Ejercicio 4 Sea T : X ↦ X Borel medible e invertible con inversa medible, en un espacio métrico compacto X, T preserva una medida boreliana de probabilidad μ. Sea f : X ↦ C una función compleja CONTINUA. Sea f̃^{+} ∈ L^{1}(μ) el límite de los promedios de Birkhoff hacia el futuro y sea f̃^{−} ∈ L^{1}(μ) el límite de los promedios de Birkhoff hacia el pasado. Sea x_{0} ∈ X un punto del conjunto Λ, donde esos dos límites existen y son iguales. Se definen los conjuntos estable e inestable respectivamente por el punto x_{0} (quizás se reducen solo a {x_{0}}):

W^{s}(x_{0}) = {y ∈ X : lim_{n→+∞} dist (T^{n}y, T^{n}x_{0}) = 0}
W^{u}(x_{0}) = {y ∈ X : lim_{n→−∞} dist (T^{n}y, T^{n}x_{0}) = 0}

Probar que para todo y ∈ W^{s}(x_{0}) existe f^{+}(y) y f^{+}(y) = f^{+}(x_{0}). Deducir que si y ∈ W^{s}(x_{0}) ∩ Λ entonces existe también f^{−}(y) y f^{−}(y) = f^{+}(x_{0}).

Probar que para todo y ∈ W^{u}(x_{0}) existe f̃^{−}(y) y f̃^{−}(y) = f̃^{−}(x_{0}). Deducir que si y ∈ W^{u}(x_{0}) ∩ Λ entonces existe también f̃^{+}(y) y f̃^{+}(y) = f̃^{−}(x_{0}).

Ejercicio 5 Probar la siguiente generalización del teorema de Birkhoff-Khinchin:

Sea T : X ↦ X medible que preserva la probabilidad μ. Sea f : X ↦ IR medible. Entonces μ-c.t.p.

o bien ˜|f| (x) = +∞

o bien f̃ existe y es finito. Sugerencia:

Basta probarlo para f ≥ 0. Dado c > 0 sea

X_{c} = \{x ∈ X : lim inf \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x) ≤ c\}

X_{c} es T - invariante. Sea f_{n}(x) = min(f(x), n). Por convergencia monótona, para todo c > 0 : f|_{X_{c}} ∈ L^{1}(X_{c}). Luego μ-c.t.p. de X_{c} existe el límite de los promedios de Birkhoff.

Ejercicio 6 Sea T medible que preserva una medida de probabilidad μ. Probar que: Si F : X ↦ R es medible y F (x) > 0 μ-c.t.p. entonces

lim inf \frac{1}{n}F ∘ T^{n} = 0 μ − c.t.p.

Si además F ∘ T − F es integrable, entonces

lim(1/n)F ∘ T^{n}(x) = 0 μ − c.t.p

Sugerencia: Para la primera parte por absurdo, suponer que existe A con μ(A) > 0 tal que lim inf(1/n)F ∘ T^{n}(x) ≥ k_{1} y F (x) ≤ K_{2} ∀x ∈ A. Aplicar el teorema de recurrencia de Poincaré para encontrar una contradicción.

Para la segunda parte escribir

\frac{1}{n}F ∘ T^{n}(x) = \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1}(F ∘ T − F) ∘ T^{j}(x) − \frac{1}{n}F (x)

y aplicar el teorema de Birkhoff.

2 Ergodicidad

Se recuerda las Definiciones 2.9 y 2.10, y el Teorema 2.11 en la sección I.2 del capítulo 1 de estas notas. En ellos se define y caracteriza la ergodicidad de una transformación T medible respecto a una medida invariante μ de probabilidad, también llamada ergodicidad de μ respecto de T. Recordemos que μ es ergódica por definición si todo conjunto medible tal que μ(T^{−1}(A)) = A tiene medida cero o uno. Y que esto se cumple si y solo si para todos U, V medibles con medida no nula, se cumple T^{n}(U) ∩ V ≠ ∅ para algún n ∈ IN.

Por los siguientes teoremas ver páginas 130 a 134 del texto Introducao à Teoría Ergódica, de Ricardo Mañé. Ed. IMPA Projeto Euclides, Río de Janeiro, 1983.

Teorema 2.1 Otras caracterizaciones de la ergodicidad.

Sea T : X ↦ X medible que preserva una medida de probabilidad μ. Las siguientes propiedades son equivalentes:

a) T es ergódica respecto de μ.

b) Para toda f ∈ L^{1}(μ) se cumple

f̃(x) = ∫ f dμ μ − c.t.p.

c) Si f ∈ L^{1}(μ) es T -invariante (es decir si f ∘ T = f μ-c.t.p.) entonces f = cte μ-c.t.p.

d) Para algún p ≥ 1 natural, si f ∈ L^{p}(μ) es T -invariante (es decir si f ∘ T = f μ-c.t.p.) entonces f = cte μ-c.t.p.

e) Para toda pareja de conjuntos medibles A y B se cumple:

lim_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} μ(T^{−j}(A) ∩ B) = μ(A)μ(B)

Demostración: Ver la sección 3 del complemento al capítulo 2 de estas notas. Alternativamente ver Mañé páginas 130 a 131.

Observación 2.2 Se llama promedio temporal de f al límite de los promedios de Birkhoff. Se llama promedio espacial de f a su valor esperado, es decir, a ∫ f dμ. La propiedad (b) del teorema anterior se traduce del siguiente modo:

Una transformación T que preserva la probabilidad μ es ergódica si y solo si los promedios temporales son iguales a los espaciales μ-c.t.p.

La condición de igualdad de los promedios temporales y espaciales es la hipótesis de Boltzmann de la mecánica estadística.

Ejercicio 7 Sea T : X ↦ X que preserva una probabilidad μ. Probar que:

T ergódica respecto de μ si y solo si para todo A conjunto medible tal que T^{−1}(A) ⊂ A, se cumple μ(A) es o bien cero o bien uno.

T es ergódica respecto de μ si y solo si para toda f ∈ L^{1}(μ) tal que f ∘ T ≤ f μ-c.t.p., se cumple f = cteμ− c.t.p.

Teorema 2.3 En las mismas hipótesis del teorema anterior T es ergódica respecto de μ si y solo si para todo conjunto A medible, el tiempo medio de estadía τ_{A}(x) es constante μ-c.t.p. e igual a μ(A)

Demostración: Ver la sección 4 del complemento al capítulo 2 de estas notas. Alternativamente ver prueba en el libro de Mañé página 133.

Definición 2.4 Sea T : X ↦ X medible en un espacio medible (X, A). Sea M_{T} el conjunto de todas las medidas de probabilidad en (X, A) que son invariantes por T. Es fácil ver que si dos medidas perteneces a M_{T} entonces cualquier combinación lineal convexa de ambas también pertenece a M_{T}. Esto es, M_{T} es convexo.

Una medida μ ∈ M_{T} se llama extremal si

μ = λν + (1 − λ)ν′, ν ≠ ν′ ∈ M_{T} , λ ∈ [0, 1] ⇒ λ ∈ {0, 1}

Es decir: la única combinación convexa en M_{T} que dá como resultado μ es 1μ + 0

Teorema 2.5 Sea T medible que preserva una medida de probabilidad μ. Entonces T es ergódica respecto de μ si y solo si μ es una medida extremal de M_{T}.

Demostración: Ver sección 4 del complemento al capítulo 2 de estas notas. Alternativamente ver demostración en el libro de Mañé: página 134.

Ejercicio 8 Demostrar que dos medidas de probabilidad diferentes μ y ν, ergódicas respecto a una misma transformación T, son mutuamente singulares. Sugerencia:

Considerar la descomposición de ν respecto de μ dada por el teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym (ver Teorema 3.8 en la página 84 del libro Real Analysis de G. Folland), escribiendo ν = λ + ρ, λ⊥μ, ρ << μ. Usar el teorema 2.5 para deducir que, o bien ν = λ o bien ν = ρ. Si ν = ρ entonces usar el lema 4.1 en la sección 4 del complemento al capítulo 2 de estas notas. Deducir que entonces ν = μ.

Ejercicio 9 Sea T : X ↦ X Borel medible en un espacio topológico compacto X, tal que T que preserva una medida de probabilidad μ. Probar que T es ergódica respecto de μ si y solo si para toda función compleja f : X ↦ C continua, el límite f̃ de los promedios de Birkhoff de f es constante μ-c.t.p. Sugerencia:

Basta probarlo para funciones continuas reales no negativas. Las funciones continuas complejas son densas en L^{1}(μ). La aplicación f ≥ 0 ∈ L^{1} ↦ f̃ ∈ L^{1} preserva la norma en L^{1}; luego si f_{n} → f en L^{1} entonces f̃_{n} → f̃ en L^{1}. Probar que si f_{n} es continua, entonces la sucesión de constantes f̃_{n} es una sucesión de Cauchy en L^{1} y también en el campo complejo C. Luego converge en C a una constante k. Usar el teorema de convergencia dominada para probar que f̃_{n} converge a k en L^{1} y la unicidad del límite en L^{1} para probar que f̃ = k μ-c.t.p

Ejercicio 10 Probar que si T : X ↦ X es Borel medible en un espacio topológico CONEXO y con base numerable, T que preserva una medida de probabilidad μ positiva sobre abiertos, entonces:

(a)Una función g ∈ L^{1}(μ) invariante con T (es decir: g ∘ T = g μ-c.t.p.) es constante μ-c.t.p. si y solo si es localmente constante c.t.p. (es decir: existe un cubrimiento de X por abiertos, tales que en cada abierto V del cubrimiento se cumple g|_{V} = K_{V} constante μ-c.t.p. de V.)

(b) T es ergódica si y solo si toda función g ∈ L^{1}(μ) que sea invariante con T es localmente constante.

3 Difeomorfismos de Anosov ergódicos en el toro.

Definición 3.1 Sea f : S ↦ S un diffeomorfismo en una superficie S compacta. Se dice que f es de Anosov o uniformemente hiperbólico si existe para todo punto x ∈ S una descomposición del espacio tangente T_{x}(S) en dos subespacios U_{x} y S_{x} de dimensión 1, invariantes con df_{x}, llamados subespacio inestable y estable respectivamente, en el punto x:

T_{x}(S) = U_{x} ⊕ S_{x}, df_{x}(U_{x}) = U_{f(x)}, df_{x}(S_{x}) = S_{f(x)}

que dependen continuamente de x ∈ S, y existen constantes 0 < λ < 1 y μ > 1 llamadas factores de contracción uniforme y expansión uniforme respectivamente, tales que:

||dT_{x}(v)|| ≤ λ||v|| ∀v ∈ S_{x}, ∀x ∈ S
||dT_{x}(v)|| ≥ μ||v|| ∀v ∈ U_{x}, ∀x ∈ S

Ejercicio 11 Probar que la transformación T = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) en el toro T^{2} es un difeomorfismo de

Anosov. Sugerencia: U_{x} y S_{x} son las direcciones propias de la matriz.

Observación 3.2 El teorema de Franks (1969) establece que:

Las únicas superficies (compactas, conexas, sin borde) que soportan un difeomorfismo de Anosov f son homeomorfas al toro T^{2}, y f es conjugado a un automorfismo lineal.

Nota: Dos homeomorfismos f : X ↦ X y g : Y ↦ Y, en respectivos espacios topológicos X e Y, se dice que son conjugados o topológicamente equivalentes si existe un homeormorfismo h : X ↦ Y llamado conjugación tal que g ∘ h = h ∘ f. La conjugación implica que todas las propiedades de la dinámica topológica de f (transitividad, conjunto no errante, omega y alfa límites, recurrencia) se transmiten a g.

Debido al teorema de Franks los automorfismos lineales en el toro T^{2} son el paradigma de los

difeomorfismos de Anosov en superficies. Y entre ellos en particular el ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) en el toro T^{2}.

En el capítulo 1, ejercicio I.16 se enunció que el ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) en el toro es transitivo topológicamente.

Demostraremos ahora que es ergódico respecto a la medida de Lebesgue. Esta prueba de ergodicidad que daremos es la misma para todos los difeomorfismos de Anosov transitivos que preservan la medida de Lebesgue.

Más adelante en los próximos capítulos probaremos nuevamente la ergodicidad del ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )

en el toro, demostrando que cumple una condición más fuerte (tiene ”espectro de Lebesgue con base numerable”). Sin embargo esa segunda prueba de la ergodicidad no puede generalizarse a los Anosov transitivos, sino sólamente a los que son lineales.

Teorema 3.3 La transformación T = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) en el toro es ergódica respecto a la medida de

Lebesgue m.

Demostración: Sea g : T^{2} ↦ C una función CONTINUA compleja. Usando los resultados de los ejercicios 9 y 10, basta probar que el límite g̃ de los promedios de Birkhoff de g es localmente constante c.t.p.

Llamaremos Λ al conjunto con medida 1 de los puntos donde existen y son iguales los límites de los promedios de Birkhoff hacia el futuro g^{+} y hacia el pasado g^{−}. Por el corolario 1.3 sabemos que m(Λ^{c}) = 0.

Sea V ⊂ X un rectángulo abierto de lados con direcciones s y u, siendo s (resp. u) la proyección en el (espacio tangente al ) toro de la dirección propia con autovalor menor que 1 (resp. mayor

que 1) en IR^{2} de la matriz A = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ).

Es fácil ver que los segmentos en V paralelos a las direcciones s y u tienen las siguientes propiedades (estructura de producto local lineal):

Cada segmento U en V, paralelo a la dirección u, está contenido en el conjunto inestable W^{u}(x_{0}) (definido en el ejercicio 4) para todo x_{0} ∈ U.

Cada segmento en S, paralelo a la dirección s, está contenido en el conjunto estable W^{s}(x_{0}) para todo x_{0} ∈ S.

Denotaremos S_{x_{0}} ⊂ V al segmento en V, de longitud máxima, paralelo a la dirección s, que pasa por el punto x_{0} ∈ V. Denotaremos con l_{S} la medida de longitud en el segmento S. Análogamente denotaremos a los respectivos U_{x_{0}} y l_{U}, según la dirección u.

Calculemos m(V ∩ A), para cualquier boreliano A, usando el teorema de Fubini. Para ello tomamos un punto x_{0} ∈ V de referencia, cualquiera:

m(V ∩ A) = ∫_{x∈S_{x_{0}}} dl_{S}(x) ∫_{y∈U_{x}} χ_{A}(y) dl_{U}(y) [1]

Usando la igualdad anterior para calcular m(V ∩ Λ^{c}) = 0 se obtiene la siguiente:

Afirmación: Para l_{S}-c.t.p. x ∈ S_{x_{0}} se cumple l_{U}-c.t.p. y ∈ U_{x} pertenece a Λ.

Tomemos entonces un tal x_{1} ∈ S_{x_{0}} como nuevo punto de referencia. Tenemos que l_{U}-c.t.p. y ∈ U_{x_{1}} pertenece a Λ. Descompongamos nuevamente la integral de [1] pero usando ahora a x_{1} en vez de x_{0} como punto de referencia, e invirtiendo el orden de las integrales iteradas. Se obtiene:

m(V ∩ A) = ∫_{y∈U_{x_{1}}} dl_{U}(y) ∫_{x∈S_{y}} χ_{A}(x) dl_{S}(x) [2]

Luego deducimos que l_{U}-c.t.p. y ∈ U_{x_{1}} pertenece a Λ y cumple: l_{S}-c.t.p x ∈ S_{y} pertenece a Λ. Usando ahora el resultado del ejercicio 4 se deduce que para todo punto y ∈ U_{x_{1}} : g̃^{−}(y) =

g̃^{−}(x_{1}). Y además para l_{U}-c.t.p. y ∈ U_{x_{1}} se cumple y ∈ Λ : g̃^{+}(y) = g̃^{−}(y) y además l_{S}-c.t.p. x ∈ S_{y} : g̃^{−}(x) = g̃^{+}(x) = g̃^{+}(y). De donde se deduce:

Afirmación: Para l_{U}-c.t.p. y ∈ U_{x_{1}} se cumple que l_{S}-c.t.p. x ∈ S_{y} pertenece a Λ y cumple g̃^{+}(x) = g^{−}(x_{1}).

De la afirmación anterior y la integral [2] se obtiene que es m(V) la medida de Lebesgue del conjunto de los puntos x ∈ V que están en Λ y su límite de promedios de Birkhoff g̃(x) es igual a la constante g̃^{−}(x_{1}). Con la cual se termina de probar que el límite de los promedios de Birkhoff de g es localmente constante m-c.t.p. □

Ejercicio 12 Sea A una matriz 2 × 2 de coeficientes enteros y determinante igual a 1. Probar que la transformación f que induce A en el toro T^{2}:

f(Π(a, b)) = Π(A(a, b))

preserva la medida de Lebesgue en el toro T^{2} = IR^{2}/ZZ^{2}. (Π : IR^{2} ↦ T^{2} es la proyección tal que Π(a, b) = (a, b)_{modZZ^{2}} ∀(a, b) ∈ IR^{2}. La medida de Lebesgue m en el toro es la que cumple ∫_{x∈T^{2}} f(x) dm(x) = ∫_{(a,b)∈[0,1)^{2}} F (a, b) dadb donde Π ∘ F (a, b) = f ∘ Π(a, b) ∀(a, b) ∈ IR^{2}.)

Probar que si los autovalores de A son ambos reales de módulo diferente de 1, entonces f es ergódica respecto a la medida de Lebesgue. (Sugerencia: Imitar la prueba realizada en 3.3 para

el ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) en el toro).

4 Sistemas caóticos o expansivos.

El estudio de las propiedades topológicas de los difeomorfismos lineales en el toro T^{2} también es paradigmática para estudiar los sistemas caóticos desde el punto de vista topológico, por lo siguiente:

Definición 4.1 Sea T : X ↦ X un homeomorfismo en un espacio métrico compacto X. Se dice que T es caótico (topológicamente) o expansivo , si existe una constante α > 0 (llamada constante de expansividad) tal que

sup_{n∈ZZ} dist (T^{n}(x), T^{n}(z) > α ∀x ≠ y ∈ X

Interpretación: El caos o expansividad significa que la dinámica es α-sensible a las condiciones iniciales: dos órbitas con estados iniciales x ≠ y diferentes se separan más que la distancia α. Es decir, si uno comete un error ϵ > 0, aunque sea arbitrariamente pequeño, en el estado inicial x (0 < dist (x, y) ≤ ϵ) entonces el estado del sistema T^{n}(y) en algún instante n ∈ ZZ, se modificará más que α > 0 respecto del estado T^{n}(x) que tendría si no se hubiese cometido el error en el estado inicial. La sensibilidad a las condiciones iniciales, o expansividad, o caos topológico, se llama también “efecto mariposa”: la leve modificación del estado inicial producido por el aleteo de una mariposa produce una modificación drástica en el estado del sistema en otro instante).

Observación 4.2 Aunque no lo demostraremos: la transformación f = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) en el toro T^{2}

es caótica o expansiva.

En 1989 Lewowicz demostró que todos los homeomorfismos topológicamente caóticos o expansivos en el toro T^{2} son conjugados a un Anosov, y por el teorema de Franks son conjugados a un difeomorfismo de Anosov lineal (es decir: un difeomorfismo inducido en T^{2} = IR^{2}/ZZ^{2} por una matriz A con coeficientes enteros, determinante igual a 1 y valores propios de módulo diferente de

1). Por eso resulta tan paradigmático estudiar estos difeomorfismos y el ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) en particular.

Ejercicio 13 Demostrar que la rotación del círculo (racional o irracional) no es expansiva o topológicamente caótica.

5 Transformaciones mixing.

Definición 5.1 Sea T : X ↦ X medible que preserva una medida de probabilidad μ. Se dice que T es mixing respecto de μ, o que μ es mixing respecto de T, si para toda pareja A, B de conjuntos medibles se cumple:

lim_{n→+∞} μ(T^{−n}A ∩ B) = μ(A)μ(B)

Teorema 5.2 Toda transformación mixing es ergódica pero no recíprocamente.

Demostración: En el teorema 2.1 se prueba que T es ergódica si y solo si

lim_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} μ(T^{−j}A ∩ B) = μ(A)μ(B)

Si se cumple la igualdad de la definición de transformación mixing entonces se cumple la condición [1] de ergodicidad. Para probar que el recíproco es falso, basta ver el ejemplo 5.5: la rotación irracional en el círculo es ergódica pero no es mixing. □

Definición 5.3 Sea T : X ↦ X Borel-medible en un espacio topológico X. Se dice que T es topológicamente mixing si y solo si para toda pareja de abiertos U y V no vacíos existe n_{0} ∈ IN tal que

T^{n}(U) ∩ V ≠ ∅ ∀n ≥ n_{0}

Ejercicio 14 Probar que si T es Borel medible en un espacio topológico X y es mixing respecto a una medida de probabilidad μ positiva sobre abiertos, entonces es topológicamente mixing.

Observación 5.4 En los capítulos siguientes mostraremos que el ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) en el toro T^{2} es

mixing respecto a la medida de Lebesgue.

También definiremos el shift de Bernoulli y probaremos que es mixing respecto a ciertas medidas de probabilidad llamadas de Bernoulli.

Definiremos una relación de equivalencia entre transformaciones que preservan medidas y probaremos que si una es mixing entonces toda equivalente a ella también.

Probaremos que el tent map en el intervalo respecto a la medida de Lebesgue es equivalente a un shift de Bernoulli, luego es mixing.

Ahora veremos que no toda transformación ergódica es mixing.

Ejemplo 5.5 Sea la rotación irracional T : S^{1} ↦ S^{1} en el círculo S^{1}. En los capítulos siguientes probaremos que T es ergódica respecto a la medida de Lebesgue. Ahora veremos que

La medida de Lebesgue en el círculo no es mixing para la rotación irracional.

Demostración: Basta demostrar que T (z) = e^{i2πα}z, donde α es un número irracional (que puede tomarse en (0, 1)), no es topológicamente mixing. Sea 2π la longitud del círculo S^{1} y sea U ⊂ S^{1} un intervalo abierto de longitud ϵ : 0 < ϵ < (1/4)2π min{α, 1 − α}. Sea V = e^{i2ϵ}U. Basta demostrar que si para cierto n_{0} ∈ IN se cumple T^{n_{0}}(V) ∩ U ≠ ∅, entonces T^{n_{0}+1}(V) ∩ U = ∅. De lo contrario la longitud del intervalo unión T^{n_{0}+1}(V) ∪ U ∪ T^{n_{0}}(V) sería menor que 3ϵ < 2π min{α, 1 − α}, pero contendría dos puntos x_{0} y T (x_{0}) que distan 2π min{α, 1 − α}. □

Ejercicio 15 Sea T medible, invertible con inversa medible, que preserva una medida de probabilidad μ. Probar que T es mixing si y solo si T^{−1} lo es. (Sugerencia: para dos conjuntos A y B cualesquiera μ(T^{−n}(A) ∩ B) = μ(T^{n}(B) ∩ A).)