TEORIA ERGODICA

Eleonora Catsigeras

Apuntes para el curso de Maestría en Matemática.

Abril de 2005.

CAPITULO 2-COMPLEMENTO DEMOSTRACIONES DE LOS TEOREMAS ERGÓDICOS.

Las hipótesis generales para este capítulo complementario son las siguientes:

(X, A) es un espacio medible, T : X ↦ X es una transformación medible que preserva una medida de probabilidad μ. f : X ↦ C es una función compleja medible.

Observación 0.1 Como la medida μ es finita, entonces para todo p natural, p ≥ 1, se cumple L^{p}(μ) ⊂ L^{1}(μ).

Demostración: Basta demostrar que si ∫ |f|^{p} dμ < +∞ entonces ∫ |f| dμ < +∞. Sea |f| = g+h donde g(x) = |f|(x) si |f|(x) ≤ 1 y g(x) = 0 en caso contrario. Basta probar que g y h están en L^{1}(μ)

∫ g dμ ≤ ∫ 1 dμ = μ(X) < +∞

∫ h dμ = ∫_{{h>0}} h dμ = ∫_{{|f|>1}} |f| dμ ≤ ∫_{{|f|>1}} |f|^{p} dμ ≤ ∫ |f|^{p} dμ < +∞ □

1. Teorema ergódico maximal

El siguiente teorema es un lema para demostrar el teorema ergódico de Birkhoff-Khinchin. (Teorema II.1.2). A diferencia del teorema de Birkhoff-Khinchin, este no se refiere a los promedios temporales de una función f a lo largo de la órbita por un punto x ∈ X, sino al máximo o supremo de las sumas acumuladas de los valores de f a lo largo de la órbita por x.

Lema 1.1 Teorema ergódico maximal. Versión 1.

Sea f ∈ L^{1}(μ) real. Sea, para n ≥ 1, la sucesión creciente de funciónes:

f_{n} = máx{f, f + f ∘ T, …, f + f ∘ T + … + f ∘ T^{n−1}}

Sea

E(f) = {x ∈ X : sup_{n≥1} f_{n}(x) > 0} = {x ∈ X : sup_{n≥1} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x) > 0}

Entonces

∫_{E(f)} f dμ ≥ 0

Demostración: Sea E_{n} = {x ∈ X : f_{n}(x) > 0}. Se cumple E_{n} ⊂ E_{n+1}, y E(f) = ∪_{n≥1}E_{n}. Luego:

∫_{E(f)} f dμ = ∫_{E(f)} f^{+} dμ − ∫_{E(f)} f^{−} dμ == lím ∫_{E_{n}} f^{+} dμ − lím ∫_{E_{n}} f^{−} dμ = lím ∫_{E_{n}} f dμ

Luego basta demostrar que ∫_{E_{n}} f dμ ≥ 0 para todo n ≥ 1.

Sea

I = ∫_{E_{n}} f dμ = ∫_{{f_{n}>0,f_{n}∘T ≤0}} f dμ + ∫_{{f_{n}>0,f_{n}∘T >0}} f dμ [1]

Tenemos

f_{n}(x) = máx{f(x), f(x) + f(T x), …, f(x) + f(T x) + … + f(T^{n−1}x)}
f_{n}(T x) = máx{f(T x), …, f(T x) + … + f(T^{n−1}x), f(T x) + … + f(T^{n}x)}

Por un lado, si f_{n}(T x) ≤ 0 las igualdades de arriba muestran que f_{n}(x) = f(x) Por otro lado, si f_{n}(T x) > 0 entonces

f(x) + f_{n}(T x) = máx{f(x) + f(T x), …, f(x) + f(T x) + … + f(T^{n−1}x),
, f(x) + f(T x) + … + f(T^{n}x)} ≥
≥ máx{f(x) + f(T x), …, f(x) + f(T x) + … + f(T^{n−1}x)}

Además, si f_{n}(T x) > 0 entonces

f(x) + f_{n}(T x) > f(x)

Juntando ambas desigualdades cuando f_{n}(T x) > 0 se obtiene que:

f(x) + f_{n}(T x) ≥ máx{f(x), f(x) + f(T x), …, f(x) + f(T x) + … + f(T^{n−1}x)} = f_{n}(x)

En resumen:

f_{n}(x) = f(x) si f_{n}(T x) ≤ 0, f(x) ≥ f_{n}(x) − f_{n}(T x) si f_{n}(T x) > 0

Sustituyendo en [1] resulta

I ≥ ∫_{{f_{n}>0,f_{n}∘T ≤0}} f_{n} dμ+∫_{{f_{n}>0,f_{n}∘T >0}} f_{n}−f_{n}∘T dμ = ∫_{{f_{n}>0}} f_{n} dμ−∫_{{f_{n}>0,f_{n}∘T >0}} f_{n}∘T dμ [2]

Por otro lado como μ es T -invariante resulta

∫ g dμ = ∫ g ∘ T dμ ∀g ∈ L^{1}(μ)

De donde

∫_{{f_{n}>0}} f_{n} dμ = ∫ (χ_{{f_{n}>0}} ∘ T) · (f_{n} ∘ T) dμ = ∫ (χ_{{f_{n}∘T >0}}) · (f_{n} ∘ T) dμ = ∫_{{f_{n}∘T >0}} f_{n} ∘ T dμ

Sustituyendo en [2] resulta:

I ≥ ∫_{{f_{n}∘T >0}} f_{n} ∘ T dμ − ∫_{{f_{n}>0,f_{n}∘T >0}} f_{n} ∘ T dμ = ∫_{{f_{n}≤0,f_{n}∘T >0}} f_{n} ∘ T dμ ≥ 0 □ Lema 1.2 Teorema ergódico maximal. Versión 2.

Sea f ∈ L^{1}(μ) real. Sea, como en el lema 1.1 el siguiente conjunto:

E(f) = {x ∈ X : sup_{n≥1} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x) > 0}

Sea A ⊂ E(f) medible, tal que T^{−1}(A) = A. Entonces

∫_{A} f dμ ≥ 0

Demostración: Sea g = χ_{A}f. Por el lema 1.1 se tiene

∫_{E(g)} χ_{A}f dμ = ∫_{E(g)} g dμ ≥ 0

Basta demostrar que E(g) = A. En efecto, siendo T^{−1}A = A se cumple

χ_{A} ∘ T^{j} = χ_{T^{−j}(A)} = χ_{A} ∀j ≥ 0

Luego:

E(g) = {x ∈ X : sup_{n≥1} ∑_{j=0}^{n−1}(χ_{A} ∘ T^{j}(x))(f ∘ T^{j}(x)) > 0} =

= {x ∈ X : sup_{n≥1} ∑_{j=0}^{n−1}(χ_{A}(x))(f ∘ T^{j}(x)) > 0} =

= {x ∈ A : sup_{n≥1} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x) > 0} = A ∩ E(f) = A □

Ahora veamos que el teorema ergódico maximal permite obtener resultados sobre los promedios temporales de la función f.

Lema 1.3 Corolario del teorema ergódico maximal.

Sea f ∈ L^{1}(μ) real. Sea α un número real cualquiera. Se define el siguiente conjunto:

\overline{G}_{α}(f) = \{x ∈ X : lím sup_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x) > α\}

Sea A ⊂ \overline{G}_{α}(f) medible, tal que T^{−1}(A) = A. Entonces

∫_{A} f dμ ≥ αμ(A)

Lema 1.4 Corolario del teorema ergódico maximal.

Sea f ∈ L^{1}(μ) real. Sea β un número real cualquiera. Se define el siguiente conjunto:

\underline{G}_{β}(f) = \{x ∈ X : lím inf_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x) < β\}

Sea A ⊂ \underline{G}_{β}(f) medible, tal que T^{−1}(A) = A. Entonces

∫_{A} f dμ ≤ βμ(A)

Demostración de los lemas 1.3 y 1.4:

Demostración del lema 1.3: Basta probar que \overline{G}_{α}(f) ⊂ E(f − α) ya que por el lema 1.2 T^{−1}(A) = A ⊂ \overline{G}_{α}(f) ⊂ E(f − α) implica

∫_{A}(f − α) dμ ≥ 0 ⇒ ∫_{A} f dμ ≥ αμ(A)

En efecto x ∈ \overline{G}_{α}(f) implica lím sup_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1}(f − α) ∘ T^{j}(x) > 0, de donde

sup_{n≥1} ∑_{j=0}^{n−1}(f − α) ∘ T^{j}(x) > 0

Luego x ∈ E(f − α) como queríamos probar. □

Demostración del lema 1.4: Observemos que \underline{G}_{β}(f) = \overline{G}_{−β}(−f). Por el lema 1.3 se tiene entonces

∫_{A}(−f) dμ ≥ (−β)μ(A), de donde ∫_{A} f dμ ≤ βμ(A) □

Lema 1.5 Los conjuntos A_{1} = \overline{G}_{α}(f) y A_{2} = \underline{G}_{β}(f) definidos en los lemas 1.3 y 1.4 son invariantes con T, es decir T^{−1}(A_{i}) = A_{i}.

Demostración:

A_{1} = \{x ∈ X : lím sup_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x) > α\}

T^{−1}(A_{1}) = \{x ∈ X : T (x) ∈ A_{1}\} = \{x ∈ X : lím sup_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(T (x)) > α\}

Basta demostrar que

lím sup_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x) = lím sup_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(T (x))

o, lo que es lo mismo, probar que

lím sup_{n→+∞} \frac{1}{n + 1} ∑_{j=0}^{n} f ∘ T^{j}(x) = lím sup_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} f ∘ T^{j}(x) [1]

En efecto

\frac{1}{n + 1} ∑_{j=0}^{n} f ∘ T^{j}(x) = \frac{f(x)}{n + 1} + (\frac{n}{n + 1}) \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} f ∘ T^{j}(x)

Como n/(n + 1) → 1 y f(x)/(n + 1) → 0 se cumple [1] como queríamos probar.

Por otro lado para probar que A_{2} es también invariante con T basta observar que también vale [1] escribiendo límite inferior en lugar de límite superior. □

2. Demostración del teorema II.1.2 de Birkhoff-Khinchin.

Parte a) Para toda f ∈ L^{1}(μ) existe μ -c.t.p.

f̃(x) = lím_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x)

Demostración: Basta demostrarlo para f ∈ L^{1}(μ) real. Sea para todo n ≥ 1:

f_{n}(x) = \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x)

Sea F = {x ∈ X : lím inf f_{n}(x) < lím sup f_{n}(x)}. Basta probar que μ(F) = 0. Se cumple

F = ⋃_{α>β racionales} \overline{G}_{α}(f) ∩ \underline{G}_{β}(f)

donde los conjuntos \overline{G}_{α}(f) y \underline{G}_{β}(f) son los definidos en los lemas 1.3 y 1.4 respectivamente.

Basta demostrar que A = \overline{G}_{α}(f) ∩ \underline{G}_{β}(f) tiene μ medida cero, para todos α > β racionales fijos.

El conjunto A es invariante con T, es decir T^{−1}(A) = A, ya que \overline{G}_{α}(f) y \underline{G}_{β}(f) lo son (ver lema 1.5).

Por el lema 1.3 y por el lema 1.4 se tiene entonces:

∫_{A} f dμ ≥ αμ(A), ∫_{A} f dμ ≤ βμ(A)

Siendo α > β esto implica μ(A) = 0 como queríamos. □

Parte b) f̃(x) existe si y solo si existe f̃(T x) y en ese caso f̃(T x) = f̃(x). Luego f̃ = f̃∘T μc.t.p.

Demostración: Basta considerar f real. Por el lema 1.5 se tiene, para todo x ∈ X:

lím sup \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x) = lím sup \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(T (x))

lím inf \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(x) = lím inf \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}(T (x))

Luego, para todo x ∈ X, existe f̃(x) si y solo si existe f̃(T x) y en ese caso son iguales. Por la parte a) el conjunto donde existe f̃ tiene μ medida igual a uno. Luego, μ-c.t.p. f̃ = f̃∘ T. □

Parte c1) Para toda f ∈ L^{1}(μ) la función f̃ también pertenece a L^{1}(μ) y además la convergencia de f_{n} a f̃ es también en L^{1}(μ).

Demostración: Basta demostrar la siguiente parte c2):

Parte c2) Si f ∈ L^{p}(μ) para algún p ≥ 1 natural entonces la función f̃ también pertenece a L^{p}(μ) y además la convergencia a f̃ de f_{n} = (1/n) ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j} es también en L^{p}(μ).

Lema 2.1 Si f ∈ L^{p}(μ) para algún p ≥ 1 natural entonces las funciones f̃ y f_{n} = (1/n) ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j} también pertenecen a L^{p}(μ) y cumplen

∥f_{n}∥_{p} ≤ ∥f∥_{p}, ∥f̃∥_{p} ≤ ∥f∥_{p}

Demostración: Sea I_{n} = ∫ |f_{n}|^{p} dμ. Probemos primero que I_{n} ≤ ∥f∥_{p}^{p} con lo cual quedará demostrado que f_{n} ∈ L^{p} y que ∥f_{n}∥_{p} ≤ ∥f∥_{p}.

I_{n} = ∫ |\frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} f ∘ T^{j}|^{p} dμ ≤ ∫ (\frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} |f| ∘ T^{j})^{p} dμ = ∥\frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} |f| ∘ T^{j}∥_{p}^{p} ≤ (\frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} ∥f ∘ T^{j}∥_{p})^{p}

Basta observar que ∥f ∘ T^{j}∥_{p} = ∥f∥_{p} para todo n ≥ 1. Resulta I_{n} ≤ ∥f∥_{p}.

Ahora solo resta probar que I = ∫ |f̃|^{p} dμ ≤ ∥f∥_{p}^{p}. Por el lema de Fatou tenemos:

I = ∫ | lím f_{n}|^{p} dμ = ∫ lím |f_{n}|^{p} dμ ≤ lím inf ∫ |f_{n}|^{p} dμ = lím inf I_{n} ≤ ∥f∥_{p}^{p} □

Demostración de la parte c2):

Por el lema 2.1 se tiene f̃ ∈ L^{p}(μ). Solo resta probar que f_{n} → f̃ en L^{p}(μ).

Primer caso: f ∈ L^{p}(μ) es acotada, es decir |f(x)| ≤ K ∀x ∈ X. Tenemos entonces que |f_{n}(x)| ≤ K ∀x ∈ X y pasando al límite μ−c.t.p. resulta |f̃| ≤ K μ − c.t.p., de donde |f_{n} − f̃| ≤ 2K μ − c.t.p.. Por el teorema de convergencia dominada se tiene:

lím ∫ |f_{n} − f̃|^{p} dμ = ∫ lím |f_{n} − f̃|^{p} dμ = 0

Segundo caso: f ∈ L^{P} (μ) cualquiera. Las funciones simples son acotadas y densas en L^{P} (μ). Luego, dado ϵ > 0, existe g simple tal que

∥f − g∥_{p} < ϵ

Por la propiedad triangular de la norma ∥ · ∥_{p}, se tiene:

∥f_{n} − f̃∥_{p} ≤ ∥f_{n} − g_{n}∥_{p} + ∥g_{n} − g̃∥_{p} + ∥g̃ − f̃∥_{p} [1]

Según lo probado en el primer caso, como g es acotada se tiene:

∥g_{n} − g̃∥_{p} < ϵ ∀n suficientemente grande

Por otra parte, el lema 2.1 implica:

∥f_{n} − g_{n}∥_{p} = ∥(f − g)_{n}∥_{p} ≤ ∥f − g∥_{p} < ϵ,

∥f̃− g̃∥_{p} = ∥ lím(f_{n} − g_{n})∥_{p} = ∥ lím(f − g)_{n}∥_{p} = ∥{ \atop (f − g)}∥_{p} ≤ ∥f − g∥_{p} < ϵ

Sustituyendo en [1], se deduce que

∥f_{n} − f̃∥_{p} < 3ϵ ∀n suficientemente grande

de donde ∥f_{n} − f̃∥_{p} → 0 como queríamos probar. □

Parte d) Para toda f ∈ L^{1}(μ) se cumple

∫ f dμ = ∫ f̃dμ

Demostración: Por la parte c1) se tiene que ∥f_{n} − f̃∥_{1} → 0. Luego:

| ∫ f_{n} dμ − ∫ f̃dμ| ≤ ∫ |f_{n} − f̃| dμ = ∥f_{n} − f̃∥_{1} → 0

Concluimos por un lado que

∫ f_{n} dμ → ∫ f̃dμ

Por otro lado:

∫ f_{n} dμ = \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} ∫ f ∘ T^{j} dμ = \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} ∫ f dμ = ∫ f dμ ∀n ≥ 1

Reuniendo ambos resultados se obtiene ∫ f dμ = ∫ f̃dμ, como queríamos. □

3. Caracterización de la ergodicidad.

En el capítulo I, Definición I.2.10 definimos: Definición I.2.10 La medida de probabilidad μ invariante con T, es ergódica para T si todo conjunto A medible

tal que T^{−1}(A) = A tiene μ medida igual a uno o a cero.

Recordemos que en el capítulo I, teorema I.2.11 demostramos lo siguiente:

Teorema I.2.11 La medida de probabilidad μ invariante con T es ergódica para T si y solo si para todos

A, B ⊂ X medibles con μ medida positiva, existe n ≥ 1 tal que T^{−n}(A) ∩ B ≠ ∅.

Demostración: Ver capítulo I, Teorema I.2.11. Ahora demostraremos el teorema II.2.1, que caracteriza la ergodicidad de varias otras formas:

Teorema II.2.1. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

(a) μ es ergódica respecto de T.

(b) Para toda f ∈ L^{1}(μ) el promedio temporal f̃(x) es igual al promedio espacial ∫ f dμ para μ−c.t.p. x ∈ X.

(c) Si f ∈ L^{1}(μ) cumple f ∘ T = f μ−c.t.p. entonces f =cte μ−c.t.p.

(d) Para algún natural p ≥ 1 las únicas funciones f ∈ L^{p}(μ) que son invariantes con T (es decir que cumplen f ∘ T = f μ−c.t.p) son las funciones constantes μ-c.t.p.

(e) Para todos A, B ⊂ X medibles se cumple

lím_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} μ(T^{−j}(A) ∩ B) = μ(A)μ(B)

Primero probaremos la siguiente: Afirmación: Si μ es ergódica y f : X ↦ C es una función medible tal que f(T (x)) = f(x)

para todo x ∈ X, entonces f = cte μ−c.t.p.

Demostración: Basta probarlo para f real. Sea α un número real cualquiera y sea A_{α} = {x ∈ X : f(x) ≤ α} = {x ∈ X : f(T x) ≤ α} = T^{−1}(A_{α}). Como μ es ergódica, por la definición I.2.10, μ(A_{α}) es cero o uno.

Sea

α_{0} = inf{α ∈ IR : μ(A_{α}) = 1}

(A priori α_{0} podría ser −∞ o + ∞.)

Por construcción μ(A_{α}) es creciente con α. Entonces se cumple μ(A_{α}) = 1 para todo α racional mayor que α_{0}. En otras palabras, μ -c.t.p. x ∈ X verifica f(x) ≤ α para todo α racional mayor que α_{0}. De lo anterior se deduce:

f(x) ≤ α_{0} μ − c.t.p.

Por otro lado de la construcción de α_{0} se cumple μ(A_{α}) = 0 para todo α racional menor que α_{0}. En otras palabras, μ-c.t.p. x ∈ X verifica f(x) > α para todo α racional menor que α_{0}. De lo anterior se deduce:

f(x) ≥ α_{0} μ − c.t.p. □

Demostración de que a) ⇒ b) en el teorema II.2.1: Por el teorema de Birkhoff-Khinchine ∫ f̃dμ = ∫ f dμ. Entonces basta demostrar que f̃ es constante μ−c.t.p.

Por el teorema de Birkhoff-Khinchine f̃(x) existe μ-c.t.p., f̃(x) existe si y solo si existe f̃(T x) y en ese caso f̃(T x) = f̃(x). Dicho de otra forma, el conjunto A = {x ∈ X : f̃(x) existe } cumple μ(A) = 1, T^{−1}(A) = A y para todo x ∈ A : f̃(x) = f̃(T x).

Sea g : X ↦ C definida como g(x) = f̃(x) si x ∈ A, g(x) = 0 si x ∉ A. Entonces para todo x ∈ X se cumple g ∘ T (x) = g(x). Por la afirmación demostrada antes g = cte μ−c.t.p. Pero por construcción g = f̃ μ−c.t.p., de donde se deduce que f̃ = cte μ−c.t.p. como queríamos. □

Demostración de que b) ⇒ c) en el teorema II.2.1: Si f ∘ T = f μ − c.t.p. entonces como μ es invariante con T se cumple para todo j ≥ 0 que f ∘ T^{j+1} = f ∘ T^{j} μc.t.p.. Luego f ∘T^{j} = f μc.t.p., de donde f_{n} = (1/n) ∑_{j=0}^{n−1} f ∘T^{j} = f μ−c.t.p. ∀n ≥ 1. Entonces f̃ = lím f_{n} es igual a f μ−c.t.p.. Pero debido a la afirmación b) la función f̃ es constante μ−c.t.p., de donde f también lo es. □

Demostración de que c) ⇒ d) en el teorema II.2.1: Como para todo natural p ≥ 1 se cumple L^{p}(μ) ⊂ L^{1}(μ) entonces c) implica la siguiente propiedad aparentemente más fuerte que d): Para todo natural p ≥ 1 las únicas funciones f ∈ L^{p}(μ) que cumplen f = f ∘ T μ − c.t.p son las funciones constantes μ − c.t.p. □

Demostración de que d) ⇒ e) en el teorema II.2.1:

Obsérvese que μ(T^{−j}A ∩ B) = ∫ χ_{T^{−j}(A)}χ_{B} dμ = ∫ (χ_{A} ∘ T^{j})χ_{B} dμ, de donde:

I_{n} = \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} μ(T^{−j}A ∩ B) = ∫ (\frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} χ_{A} ∘ T^{j})χ_{B} dμ

Por convergencia dominada (el integrando está acotado por la función constante 1 ∈ L^{1}(μ)), resulta:

lím I_{n} = ∫ lím_{n→+∞}(\frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} χ_{A} ∘ T^{j})χ_{B} dμ = ∫ (χ̃_{A})χ_{B} dμ [1]

Por la afirmación d), y el teorema de Bikhoff-Khinchine, observando que χ_{A} ∈ L^{p}(μ) y χ̃_{A} es invariante con T, luego contante μ − c.t.p, se tiene que

χ̃_{A}(x) = ∫ χ̃_{A} dμ = ∫ χ_{A} dμ = μ(A) μ − c.t.p.x ∈ X

Sustituyendo en [1] resulta

lím I_{n} = ∫ (μ(A))χ_{B} dμ = μ(A)μ(B) □

Demostración de que e) ⇒ a) en el teorema II.2.1: Por el teorema I.2.11 basta demostrar que si A, B ⊂ X son medibles con μ medida positiva, entonces existe j ≥ 1 tal que μ(T^{−j}(A)∩B) > 0. Por la hipótesis e):

lím \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n−1} μ(T^{−j}(A) ∩ B) = lím \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} μ(T^{−j}(A) ∩ B) = μ(A)μ(B) > 0

Entonces

∑_{j=1}^{n−1} μ(T^{−j}(A) ∩ B) > 0 ∀n suficientemente grande

de donde μ(T^{−j}(A) ∩ B) > 0 para algún j ≥ 1 como queríamos. □

4. Otras caracterizaciones de la ergodicidad.

Recordemos la definición de tiempo de estadía τ_{A}(x) de la órbita por x ∈ X en un conjunto medible A (definición II.1.6):

τ_{A}(x) = lím_{n→+∞} \frac{#\{j ∈ IN : 0 ≤ j ≤ n − 1, T^{j}(x) ∈ A\}}{n} = lím_{n→+∞} \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} χ_{A} ∘ T^{j}(x) = χ̃_{A}(x)

Recordamos ahora el teorema II.2.3 que enuncia la siguiente caracterización de la ergodicidad:

Teorema II.2.3 μ es ergódica respecto de T si y solo si para todo conjunto medible A el tiempo de estadía

τ_{A}(x) = c̃hi_{A}(x) es constante μ-c.t.p. x ∈ X. En ese caso τ_{A}(x) = μ(A) μ − c.t.p.

Demostración: Por el teorema de Birkhoff-Khinchine χ̃_{A} ∈ L^{1}(μ) y cumple χ̃_{A} = χ̃_{A} ∘ T μ − c.t.p.

Si χ̃_{A} = cte μ − c.t.p. entonces, aplicando nuevamente el teorema de Bikhoff-Khinchine:

χ̃_{A}(x) = ∫ χ̃_{A} dμ = ∫ χ_{A} dμ = μ(A) μ − c.t.p. [1]

Si τ_{A} = χ̃_{A} = cte μ−c.t.p. para todo A medible, tomemos en particular A tal que T^{−1}(A) = A. Para demostrar la ergodicidad de μ hay que probar que μ(A) es cero o uno.

χ̃_{A} = lím \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} χ_{A} ∘ T^{j}

Pero χ_{A} ∘ T^{j} = χ_{T^{−j}(A)} = χ_{A}. Luego resulta:

χ̃_{A}(x) = χ_{A}(x) ∈ {0, 1} μ − c.t.p.x ∈ X [2]

Por [1] y [2] se tiene μ(A) ∈ {0, 1} y μ es ergódica como queríamos probar. Recíprocamente, si μ es ergódica, entonces por la parte b) del teorema II.2.1. τ_{A} = χ̃_{A} =

cte μ − c.t.p. □

Ahora recordemos la definición II.2.4:

Definición II.2.4:

M_{T} = {μ medidas de probabilidad en (X, A) invariantes con T }

μ es extremal en M_{T} si la única combinación convexa de dos medidas en M_{T} que da como resultado μ es 1μ + 0. Más precisamente, μ es extremal si μ = tν_{1} + (1 − t)ν_{2}, donde ν_{1} ≠ ν_{2} son dos medidas en M_{T} y t ∈ [0, 1], implica que t ∈ {0, 1} y entonces o bien μ = ν_{1} o bien μ = ν_{2}.

Ahora vamos a demostrar el teorema II.2.5 que da otra caracterización para la ergodicidad:

Teorema II.2.5 μ es ergódica para T si y solo si μ es extremal en M_{T}.

Demostración:

Prueba de que μ extremal implica μ ergódica:

Por absurdo si μ no fuera ergódica existiría un conjunto medible A tal que T^{−1}(A) = A y 0 < μ(A) < 1. Sea t = μ(A) ∈ (0, 1). Sean ν_{1}(B) y ν_{2}(B) definidas para todo medible B como ν_{1}(B) = μ(B ∩ A)/μ(A), ν_{2}(B) = μ(B ∩ A^{c})/μ(A^{c}). Como T^{−1}(A) = A entonces ν_{1} y ν_{2} son invariantes con T. Además ν_{1} ≠ ν_{2} porque en A una toma el valor 1 y la otra el valor 0. Por construcción se verifica para todo medible B:

μ(B) = μ(B ∩ A) + μ(B ∩ A^{c}) = tν_{1}(B) + (1 − t)ν_{2}(B)

Luego μ no es extremal contradiciendo la hipótesis □.

Antes de probar que μ ergódica implica μ extremal, veremos el siguiente lema:

Lema 4.1 Si μ es una medida de probabilidad ergódica respecto de T, y si ν es una medida de probabilidad invariante con T tal que ν << μ entonces ν = μ.

Demostración: Sea h ∈ L^{1}(μ) la derivada de Radon-Nikodym de ν respecto de μ. Para todo A medible se tiene

ν(A) = ∫_{A} h dμ, ν(X) = 1 = ∫ h dμ [2]

Siendo ν invariante con T se cumple:

ν(A) = \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} ν(T^{−j}(A) = \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} ∫ (χ_{A} ∘ T^{j})h dμ = ∫ (\frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} χ_{A} ∘ T^{j})h dμ

Por convergencia dominada la última integral tiende a ∫ χ̃_{A}h dμ. Siendo μ ergódica aplicando II.2.3 y la igualdad [2], concluimos

ν(A) = ∫ χ̃_{A}h dμ = ∫ μ(A)h dμ = μ(A) ∫ h dμ = μ(A) ∀A □

Prueba de que μ ergódica implica μ extremal:

Supongamos que existen medidas de probabilidad ν_{1} y ν_{2} invariantes con T tales que

μ = tν_{1} + (1 − t)ν_{2} para t ∈ (0, 1) [2]

Para demostrar que μ es extremal en M_{T} basta probar que ν_{1} = ν_{2} = μ.

Por [2] se tiene ν_{1} << μ, ν_{2} << μ. Siendo μ ergódica, por el lema 4.1, se tiene ν_{1} = ν_{2} = μ como queríamos. □