Resumen clases - Cálculo 1

Teórico 1 - Heber Enrich

Lunes 3/3

Se suspendió la clase

Miércoles 5/3

Numerabilidad y densidad de los racionales. No numerabilidad de los reales. Irracionalidad de raíz de 2. Axiomas de cuerpo y algunas propiedades que se deducen.

Viernes 7/3

Axiomas de cuerpo ordenado y algunas propiedades que se deducen. Comienzo de axioma de completitud. Definición de cota y supremo.

Lunes 10/3

Axioma de completitud. Definición de máximo, aplicaciones a la demostración de la propiedad arquimediana, existencia de raíz de 2. Definición de punto de acumulación, conjunto cerrado como el que contiene sus puntos de acumulación y abierto como el que el complemento es cerrado.

Miércoles 12/3

Inducción matemática, inducción completa, principio de buen orden. Definición de función. Sucesiones, sucesiones de reales. Operaciones con sucesiones. Convergencia, divergencia, punto de aglomeración.

Viernes 14/3

Límite superior e inferior de sucesiones. Subsucesiones, relaciones entre los conceptos de límite, punto de aglomeración y subsucesiones. Sucesiones monótonas, toda sucesión monótona tiene límite.

Lunes 24/3

Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sucesiones de Cauchy, completitud de los reales.

Miércoles 26/3

Número complejo, definición, operaciones, propiedades. Módulo y conjungado de un número complejo, propiedades.

Viernes 28/3

Representación polar de los números complejos, potenciación, radicación, exponenciación.

Lunes 31/3

Logaritmación de números complejos. Transformaciones en el plano complejo: rotación, traslación, inversión, homotecia, simetría axial. Transformaciones de Möbius en el plano complejo ampliado.

Miércoles 2/4

Funciones, definición, gráfico, funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas. Definición de límite, ejemplos.

Viernes 4/4

Ejemplos usando la definición de límite, enunciado de teoremas de álgebra de límites.

Lunes 7/4

Continuidad, ejemplos, relación con límite de sucesiones. Definición de continuidad en intervalos. Conservación del signo. Teorema de Bolzano.

Miércoles 9/4

Ejemplos de cálculo de límites, infinitésimos equivalentes, límites infinitos.

Viernes 11/4

Teorema de Weierstrass.

Lunes 14/4

Aplicaciones del teorema de Bolzano y Weierstrass a la existencia de raíces y de extremos de polinomios.

Miércoles 16/4

Comienzo de continuidad uniforme, ejemplos x^2, 1/x, hasta definición de continuidad uniforme.

Viernes 18/4

Ejemplos de continuidad uniforme: nuevamente x^2, sen(1/x) Teorema de Heine-Cantor. Definición de derivabilidad, ejemplos.

Lunes 21/4

Diferencial de funciones de una variable. Aplicaciones. Enunciado de teoremas de derivadas de suma, producto, cociente.

Miércoles 23/4

Regla de la cadena. Enunciado, demostración, ejemplos. Derivadas y diferenciales de orden superior. Extremos absolutos y relativos, ejemplos.

Viernes 25/4

Teoremas de Rolle, Lagrange, Cauchy. Algunos corolarios y aplicaciones. (crecimiento de funciones, relación entre extremos y derivada segunda, funciones definidas en un intervalo con igual derivada difieren en constante)

Lunes 28/4

Funciones invertibles. Una función definida en un intervalo sobre su dominio continua es invertible si y solo si es monótona. Continuidad de función inversa.

Miércoles 30/4

Derivada de función inversa. Ejemplos. Regla de L'Hôpital. Ejemplos.

Lunes 12/5

Desarrollo de Taylor: ejemplos previos (diferencial, 1/(1-x), polinomio). Polinomio de Taylor asociado a una función, ejemplos (e^x, sen(x)). Definición de funciones iguales hasta el orden n en un punto.

Miércoles 14/5

Teorema de igualdad de funciones y polinomio de Taylor hasta el orden n. Aplicaciones al estudio local de funciones. Teorema de unicidad de desarrollos de Taylor. A

Viernes 16/5

Desarrollo de Taylor de 1/(1-x), de exp(sen(x)). Teorema de Taylor con resto de Cauchy y de Lagrange. Aplicaciones.

Lunes 19/5

Sistemas dinámicos discretos. Puntos fijos y periódicos. Atractores y repulsores.

Miércoles 21/5

Condiciones suficientes para que un punto fijo sea atractor o repulsor. Integración. Partición. Sumas inferiores y superiores.

Viernes 23/5

Definición de función integrable. Ejemplos. Una función es integrable si y sólo si dado épsilon positivo existe P tal que U(f,P)-L(f,P) < épsilon.

Lunes 26/5

Integral de f(x)=x; f(x)=x^2. Toda función monótona o continua en un intervalo cerrado y acotado es integrable. Definición de sumas de Riemann y relación con la integral.

Miércoles 28/5

Ejemplo relacionado con la definición de integral Riemann. Propiedades de la integral: aditividad respecto al intervalo de integración (demostrado), linealidad (sin demostrar), propiedades relacionadas con desigualdades.

Viernes 30/5

Teorema del valor medio del cálculo integral. Primer teorema fundamental del cálculo.

Lunes 2/6

Segundo teorema fundamental del cálculo. Integración por sustitución. Ejemplos.

Miércoles 4/6

Integración por partes. Ejemplos. Descomposición en fracciones simples.

Viernes 6/6

Integración de funciones racionales. Integrales impropias (definición).

Lunes 9/6

Integrales impropias de primera especie. Integración de funciones no negativas. Criterio de comparación. Ejemplos.

Miércoles 11/6

Integrales impropias de primera especie absolutamente convergentes. Integrales impropias de segunda especie. Integrales mixtas. Ejemplos.

Viernes 13/6

Series. Definición, ejemplos, serie geométrica. Condición de Cauchy, condición necesaria de convergencia. Series de términos no negativos, criterio de comparación.

Lunes 16/6

Series: criterio de infinitésimos de igual orden. Criterio del cociente y de la raíz. Ejemplos. Criterio integral.

Miércoles 18/6

Series absolutamente y condicionalmente convergentes. Definición, convergencia de series absolutamente convergentes. Criterio de Leibniz.

Viernes 20/6

Reordenamiento de series. El reordenamiento de una serie absolutamente convergente no cambia su suma. Toda serie condicionalmente convergente puede ser reordenada para que sea convergente a cualquier número real o divergente a más o menos infinito. Enunciado de teorema de producto de series. Series de Taylor.

Lunes 23/6

Ecuaciones diferenciales. Definición, ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Interpretación geométrica. Unicidad de soluciones dadas condiciones iniciales. Ecuaciones diferenciales de variables separables y reducibles a ellas por medio de cambios de variables. Ejemplos.

Miércoles 25/6

Ecuaciones diferenciales lineales. Ejemplos.