Se suspendió la clase
Numerabilidad y densidad de los racionales. No numerabilidad de los reales. Irracionalidad de raíz de 2. Axiomas de cuerpo y algunas propiedades que se deducen.
Axiomas de cuerpo ordenado y algunas propiedades que se deducen. Comienzo de axioma de completitud. Definición de cota y supremo.
Axioma de completitud. Definición de máximo, aplicaciones a la demostración de la propiedad arquimediana, existencia de raíz de 2. Definición de punto de acumulación, conjunto cerrado como el que contiene sus puntos de acumulación y abierto como el que el complemento es cerrado.
Inducción matemática, inducción completa, principio de buen orden. Definición de función. Sucesiones, sucesiones de reales. Operaciones con sucesiones. Convergencia, divergencia, punto de aglomeración.
Límite superior e inferior de sucesiones. Subsucesiones, relaciones entre los conceptos de límite, punto de aglomeración y subsucesiones. Sucesiones monótonas, toda sucesión monótona tiene límite.
Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sucesiones de Cauchy, completitud de los reales.
Número complejo, definición, operaciones, propiedades. Módulo y conjungado de un número complejo, propiedades.
Representación polar de los números complejos, potenciación, radicación, exponenciación.
Logaritmación de números complejos. Transformaciones en el plano complejo: rotación, traslación, inversión, homotecia, simetría axial. Transformaciones de Möbius en el plano complejo ampliado.
Funciones, definición, gráfico, funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas. Definición de límite, ejemplos.
Ejemplos usando la definición de límite, enunciado de teoremas de álgebra de límites.
Continuidad, ejemplos, relación con límite de sucesiones. Definición de continuidad en intervalos. Conservación del signo. Teorema de Bolzano.
Ejemplos de cálculo de límites, infinitésimos equivalentes, límites infinitos.
Teorema de Weierstrass.
Aplicaciones del teorema de Bolzano y Weierstrass a la existencia de raíces y de extremos de polinomios.
Comienzo de continuidad uniforme, ejemplos x^2, 1/x, hasta definición de continuidad uniforme.
Ejemplos de continuidad uniforme: nuevamente x^2, sen(1/x) Teorema de Heine-Cantor. Definición de derivabilidad, ejemplos.
Diferencial de funciones de una variable. Aplicaciones. Enunciado de teoremas de derivadas de suma, producto, cociente.
Regla de la cadena. Enunciado, demostración, ejemplos. Derivadas y diferenciales de orden superior. Extremos absolutos y relativos, ejemplos.
Teoremas de Rolle, Lagrange, Cauchy. Algunos corolarios y aplicaciones. (crecimiento de funciones, relación entre extremos y derivada segunda, funciones definidas en un intervalo con igual derivada difieren en constante)
Funciones invertibles. Una función definida en un intervalo sobre su dominio continua es invertible si y solo si es monótona. Continuidad de función inversa.
Derivada de función inversa. Ejemplos. Regla de L'Hôpital. Ejemplos.
Desarrollo de Taylor: ejemplos previos (diferencial, 1/(1-x), polinomio). Polinomio de Taylor asociado a una función, ejemplos (e^x, sen(x)). Definición de funciones iguales hasta el orden n en un punto.
Teorema de igualdad de funciones y polinomio de Taylor hasta el orden n. Aplicaciones al estudio local de funciones. Teorema de unicidad de desarrollos de Taylor. A
Desarrollo de Taylor de 1/(1-x), de exp(sen(x)). Teorema de Taylor con resto de Cauchy y de Lagrange. Aplicaciones.
Sistemas dinámicos discretos. Puntos fijos y periódicos. Atractores y repulsores.
Condiciones suficientes para que un punto fijo sea atractor o repulsor. Integración. Partición. Sumas inferiores y superiores.
Definición de función integrable. Ejemplos. Una función es integrable si y sólo si dado épsilon positivo existe P tal que U(f,P)-L(f,P) < épsilon.
Integral de f(x)=x; f(x)=x^2. Toda función monótona o continua en un intervalo cerrado y acotado es integrable. Definición de sumas de Riemann y relación con la integral.
Ejemplo relacionado con la definición de integral Riemann. Propiedades de la integral: aditividad respecto al intervalo de integración (demostrado), linealidad (sin demostrar), propiedades relacionadas con desigualdades.
Teorema del valor medio del cálculo integral. Primer teorema fundamental del cálculo.
Segundo teorema fundamental del cálculo. Integración por sustitución. Ejemplos.
Integración por partes. Ejemplos. Descomposición en fracciones simples.
Integración de funciones racionales. Integrales impropias (definición).
Integrales impropias de primera especie. Integración de funciones no negativas. Criterio de comparación. Ejemplos.
Integrales impropias de primera especie absolutamente convergentes. Integrales impropias de segunda especie. Integrales mixtas. Ejemplos.
Series. Definición, ejemplos, serie geométrica. Condición de Cauchy, condición necesaria de convergencia. Series de términos no negativos, criterio de comparación.
Series: criterio de infinitésimos de igual orden. Criterio del cociente y de la raíz. Ejemplos. Criterio integral.
Series absolutamente y condicionalmente convergentes. Definición, convergencia de series absolutamente convergentes. Criterio de Leibniz.
Reordenamiento de series. El reordenamiento de una serie absolutamente convergente no cambia su suma. Toda serie condicionalmente convergente puede ser reordenada para que sea convergente a cualquier número real o divergente a más o menos infinito. Enunciado de teorema de producto de series. Series de Taylor.