GAL I - 2007

• Clase 1:

  • Presentación del curso: Docentes, aprobación, bibliografía, página web, grupo de noticias. Tópicos de la materia, ejemplos de sistemas lineales.
  • Sistemas lineales: Método de escalerización de Gauss, notación matricial, conjunto solución, sistemas incompatibles, sistemas compatibles determinados, sistemas compatibles indeterminados.

• Clase 2:

  • Método de escalerización de Gauss: ¿sirve el método? Transformaciones elementales. Sistemas equivalentes. Las T.E. no alteran el conjunto solución. Cualquier sistema se puede escalerizar por una cantidad finita de T.E. Matrices. Ejemplo. Matriz escalerizada. Teorema de Rouché-Frobenius.

• Clase 3:

  • El álgebra de las matrices: Suma de matrices. Producto por un escalar. Producto de una matriz por un vector. Producto de matrices. Matrices conformables. Ejemplos. Propiedades del producto. El producto no es conmutativo.

• Clase 4:

  • El álgebra de las matrices (II): Matriz traspuesta. Elemento neutro de la suma y del producto. Elemento opuesto y elemento inverso (matriz inversa). Inversa a izquierda y a derecha. Cálculo de la matriz inversa. Ejemplos. Propiedades de la matriz inversa.

• Clase 5:

  • El espacio de n-uplas: n-uplas. Suma y producto por un escalar. Definición y propiedades. Combinación lineal. Definición. Ejemplos. Interpretación geométrica. Relación entre existencia de C.L. y compatibilidad de sistema de ecuaciones lineales. Independencia lineal. Definición.

• Clase 6:

  • Independencia lineal y rango: Ejemplos de vectores L.I. y L.D. Proposición: un conjunto de vectores es L.D. sii alguno es C.L. de los restantes. Rango de un conjunto de vectores. Definición y ejemplos. Rango de por filas  y por columnas de una matriz. Rango por filas=Rango por columnas=escalones de cualquier forma escalerizada. Teorema de Rouché-Frobenius revisitado. Rango (A)=n sii A es invertible a derecha sii A es invertible.

• Clase 7:

  • Determinantes (I): Determinante de matrices 2x2. Propiedades. Definición de determinante de matrices nxn. Ejemplos. T.E. y determinantes. Ejemplo (determinante y escalerización) Determinante de una matriz triangular. Teorema: A es invertible sii det(A)=/=0. Teorema: det(AB)=det(A)det(B). Teorema det(A^t)=det(A). Consecuencias.

• Clase 8:

  • Determinantes (II): Fórmula recursiva de los determinantes: Matriz adjunta, menor adjunto, cofactor. Matriz de cofactores. Expresión de la matriz inversa en función de la matriz de cofactores y el determinante. Regla de Cramer. Expresión del determinante en matrices 3x3 (no en transparencia)

• Clase 9:

  • Geometría, rectas en el espacio: Puntos y vectores en R3. Suma de vectores, producto por un escalar. Interpretación geométrica.  Vectores paralelos. Recta en el espacio. Ecuaciones paramétricas, ejemplo. Ecuaciones reducidas, ejemplo. Pasaje de una expresión a otra. Intersección de rectas.

• Clase 10:

  • Planos en el espacio: Definición de plano en R3. Ecuaciones parametricas. Ecuación reducida. Ejemplos. Pasaje de una expresión a otra. El plano como conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. 3 puntos no alineados determinan un único plano. Intersección entre rectas, planos y rectas, planos y planos.

• Clase 11:

  • Producto escalar: Definición. Ejemplos. Propiedades. Módulo de un vector. Ejemplos. Propiedades. Desigualdad de Cauchy-Schwartz. Ángulo entre vectores. Ejemplo. Ortogonalidad. Ortonormalidad. Teorema de Pitágoras. Propiedades. Distancia. Propiedades. Versor. Proyecciones. Producto escalar y planos.

• Clase 12:

  • Producto vectorial: Definición. Ejemplos. Propiedades. Interpretación geométrica. Aplicación: vector normal a un plano. Ejemplo. Aplicación 2: intersección de 2 planos, cálculo del vector director de la recta. Terna directa. Producto mixto. Aplicaciones 3 y 4: área de un paralelogramo, y volumen de un prisma. Aplicación 5: distancia de un punto a una recta.

• Clase 13:

  • Posiciones relativas de rectas y planos: Rectas paralelas. Posiciones relativas de rectas. Planos paralelos. Rectas perpendiculares. Proyecciones sobre un plano que pasa por el origen. Ejemplo. Proyecciones sobre un plano cualquiera. Distancia de un punto a un plano. Ejemplo. Distancia entre rectas. Recta perpendicular a otras dos (no en la transparencia)

• Repaso

  • Una revisión, posiblemente incompleta, de los tópicos que dimos este semestre.

• Clase 14:

  • Espacios vectoriales: El ejemplo de K^n. Definición de espacio vectorial. Cuerpo. Ejemplos: las funciones con valores en K. Sucesiones de elementos de K. Otros ejemplos. Propiedades generales de los e.v.

• Clase 15:

  • Subespacios vectoriales: Definición. Ejemplos. Caracterización de s.e.v. Más ejemplos. Intersección de s.e.v. Unión de s.e.v. (no es s.e.v.). Suma de s.e.v.

• Clase 16:

  • Combinaciones lineales:  Definición. Ejemplos. Subespacio generado. Propiedades. Ejemplos. Generador. Definición. Ejemplos.

• Clase 17:

  • Combinaciones lineales II: Independencia lineal. Caracterizaciones de la independencia lineal. Ejemplo. Propiedades. Independencia lineal de conjuntos infinitos. Suma directa. Definición. Ejemplos. Caracterización. Relación con el concepto de independencia lineal.

• Clase 18:

  • Bases y dimensión: Definición de base. Definición de coordenadas. Bases canónicas. Ejemplos. Ejemplo de coordenadas en bases no canónicas. Dimensión. Definición. Propiedades de generadores y conjuntos l.i. Conjuntos de dimensión infinita. Dimensión y suma directa.

• Clase 19:

  • Transformaciones lineales: Definición. Ejemplos: Producto por una matriz. Coordenadas. Derivación. Integración. Otros ejemplos. Caracterización. Propiedades generales de las t.l.

• Clase 20:

  • Operaciones con t.l. y matriz asociada: T.l. inducida por una matriz, ejemplo. Definición de matriz asociada. Ejemplos. Matriz cambio de base. Ejemplo. Operaciones con t.l.: suma, producto por un escalar, composición. Comportamiento de las matrices asociadas respecto de estas operaciones.

• Clase 21:

  • Núcleo e Imagen: Repaso matriz asociada, ejemplos. Defincición de núcleo e imagen. Ejemplo. Caracterización de transformaciones lineales inyectivas, sobreyectivas, biyectivas. Isomorfismo. Teorema de las dimensiones, demostración. Aplicaciones. 
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