La homología persistente o su dual cohomología persistente son métodos algebraicos para capturar y medir características topológicas de big data, con múltiples aplicaciones dentro del análisis topológico de datos (TDA).

En esta charla vamos a mostrar que la homología persistente es una homología estándar de un módulo graduado particular sobre un anillo de polinomios, lo cual condujo a un algoritmo eficiente para obtener las características topológicas de un big data.

También vamos a enunciar (sin mucho rigor matemático) un resultado usando sucesiones espectrales que permite el cálculo de la cohomología persistente de un big data a través de la cohomología persistente en cada parte de una partición de ese big data, con el propósito de generar un algoritmo más veloz.

Referencias:

ZOMORODIAN, Afra; GUNNAR, Carlsson. Computing Persistent Homology. Discrete and Computational Geomeztry, v. 33, 2005, p. 249-274.

ACOSTA, Telmo. Persistent Leray's sequence and separation property to generalized manifold. Tesis sometida para obtención del grado de Doctor en Ciencias, Universidad Federal de Sao Carlos. 2024.

Dado un grupo G y un cuerpo k el álgebra de grupo kG se define como el espacio vectorial que tiene como base los elementos de G y cuyo producto es el que se obtiene extendiendo por linealidad el producto en G.

En esta charla veremos un poco de la estructura de módulos sobre álgebra de grupos. Más en concreto, cómo son los módulos simples (módulos sin submódulos propios) y semisimples (suma directa de simples). Para luego mostrar cuando un álgebra de grupos kG es semisimple como kG módulo, para el caso G finito.

También ilustraremos con algunos ejemplos cuando el álgebra kG es de representación finita (tiene una cantidad finita de módulos indescomponibles no isomorfos) y distintos tipos de álgebras con representación infinita (mansa y salvaje).

El espectro de un digrafo es el multiconjunto compuesto por los valores propios (contados con multiplicidad) de su matriz de adyacencia. El máximo de este conjunto es un elemento distinguido por el Teorema de Perron Frobenius y se denomina radio espectral del digrafo. Si bien muchas propiedades estructurales de un digrafo son descritas por su espectro, es sabido que existen digrafos no isomorfos coespectrales.

El espectro complementario de un digrafo D es el conjunto de radios espectrales de sus subdigrafos inducidos. La cantidad de elementos del espectro complementario de un digrafo no queda a priori determinada, sin embargo se sabe que para los grafos conexos con n vértices debe ser al menos n y para los digrafos fuertemente conexos al menos 1.

En esta charla presentaremos los digrafos fuertemente conexos con uno dos y tres elementos en el espectro complementario. Veremos que aquellos digrafos con uno y dos valores propios complementarios quedan caracterizados por su espectro complementario mientras que esto no sucede para digrafos con tres valores propios complementarios.

Este problema se encuentra abierto para grafos y se sabe que los grafos conexos con n vértices y n valores propios complementarios quedan caracterizados por este conjunto. Veremos también cuál es el problema de estudiar grafos fuertemente conexos con n+1 valores propios complementarios.

La noción de kk-equivalencia es más débil que la homotopía algebraica (homotopía polinomial). Sin embargo, es una noción más rica debido a la estructura homotópica que proporciona a las álgebras.

Estudiaremos la estructura de categoría de objetos fibrantes que tiene la categoría de algebras considerando a las kk-equivalencias como equivalencias débiles y mostraremos la no existencia de dicha estructura cuando consideramos homotopías polinomales.

En el estudio de las álgebras cluster el cálculo explícito de las variables cluster es un problema importante. Para las álgebras cluster de tipo superficie el cálculo se puede hacer de forma combinatoria utilizando mathcings de grafos de serpiente. Trabajos recientes de Musiker, Ovenhouse y Zhang amplían la teoría en un intento por definir "super" álgebras cluster de tipo A. Los autores presentan una fórmula combinatoria, utilizando matchings dobles de grafos de serpiente para calcular longitudes super-lambda en los super-espacios de Teichmüller de Penner-Zeitlin.

En el contexto clásico de las álgebras cluster tipo superficie, se puede utilizar alternativamente un enfoque de teoría de representaciones de quivers para calcular las variables utilizando una variante de la función CC.

Motivadas por esto, presentamos una interpretación de la teoría de la representación de las longitudes super-lambda y una función CC, inspirada en parte por artículos de Geiss-Leclerc-Schroer, que concuerda con la fórmula combinatoria de Musiker, Ovenhouse y Zhang. Este es un trabajo conjunto con Canakci, Fedele y Serhiyenko y fue publicado recientemente en J. Algebra.

En la actualidad continuamos el estudio intentando asignar módulos a las variables impares de estas super-algebras.

Existen muchas conexiones interesantes entre las álgebras de Hopf y las álgebras de Frobenius, o más generalmente entre las estructuras de Hopf y las estructuras de Frobenius.

El resultado más conocido en este sentido es el teorema de Larson-Sweedler [2], que dice que cualquier álgebra de Hopf de dimensión finita tiene una integral distinta de cero y, por lo tanto, es Frobenius.

Este resultado ha sido refinado por Pareigis [3], quien demostró que una biálgebra es de dimensión finita y Hopf si y sólo si es Frobenius y la estructura de Frobenius es compatible con la estructura de biálgebra (lo que significa, de cierta manera, que la estructura de Frobenius surge de una integral).

De manera más general, Kreimer y Takeuchi demostraron en [1] que los objetos de Hopf-Galois, o más generalmente las extensiones finitas de Hopf-Galois con invariantes libres, son Frobenius.

En esta charla nos concentraremos en dar una construcción concisa de la estructura de Frobenius que admite un álgebra de Hopf de dimensión finita. Primero presentaremos las álgebras de Frobenius, dando algunas definiciones equivalentes y mostrando ejemplos de las mismas.

En la segunda parte presentaremos las álgebras de Hopf así como ejemplos básicos de esta estructura.

Introduciremos la noción de integrales en un álgebra de Hopf explicando por qué la existencia de las mismas le da al álgebra estructura de Frobenius.

Finalizaremos la charla probando la existencia de integrales no nulas en álgebras de Hopf de dimensión finita.

La siguiente charla: ¿Qué es un álgebra de Hopf?, profundizará en conceptos relativos a estas álgebras.

REFERENCIAS:

[1] H.F. Kreimer, M. Takeuchi, Hopf algebras and Galois extensions of an algebra, Indiana Univ. Math. J. 30 (1981), 675–692.

[2] R.G. Larson, M.E. Sweedler, An associative orthogonal bilinear form for Hopf algebras, Am. J. Math. 91 (1969) 75–94.

[3] B. Pareigis, When Hopf algebras are Frobenius algebras, J. Algebra 18 (1971) 588–596.

En esta charla introduciremos las categorías de conglomerado y las álgebras inclinadas de conglomerado y mostraremos algunas propiedades interesantes que tienen.

Las categorías de conglomerado fueron definidas en 2006 por Buan, Marsh, Reineke, Reiten y Todorov en [BMRRT]. Luego las álgebras inclinadas de conglomerado fueron definidas por Buan, Marsh y Reiten [BMR] en el año 2007. Dichos trabajos marcaron el origen de la teoría de conglomerado.

Referencias:

[BMR] Buan, A. B., Marsh, R. J., and Reiten, I., Cluster-tilted algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 359 (2007), no. 1, 323–332

[BMRRT] por Buan, A. B., Marsh, R., Reineke, M., Reiten, I., and Todorov, G., Tilting theory and cluster combinatorics, Adv. Math. 204 (2006), no. 2, 572–618.

Haremos un breve relato sobre el surgimiento y la evolución de la teoría de álgebras de Hopf para después concentrarnos en dos aspectos desarrollados recientemente: las álgebras de Hopf en combinatoria, y las álgebras de Hopf en relación a las categorías monoidales.

Se sugiere ir a la charla anterior: ¿Cuándo las Álgebras de Hopf son Álgebras de Frobenius?, para afianzar los conceptos y definiciones

Esta charla tiene como objetivo presentar y profundizar sobre las Extensiones, esas que ya nos presentan en los primeros cursos de Álgebra. Esto nos llevará más de la mitad del tiempo de la exposición.

La charla tiene un segundo objetivo y es discutir sobre las álgebras de dimensión global infinita. Existen conceptos de dimensión infinita, infinita +, infinita co+, e infinita ++. ¿Son todos estos conceptos equivalentes?

Parte de lo que se desarrollará es trabajo en conjunto con Claude Cibils, Eduardo Marcos, y Andrea Solotar.

El concepto de módulo Gorenstein proyectivo nace en la década de los 60 a partir de los trabajos de Maurice Auslander. Tales módulos se conocían en ese entonces como módulos de G-dimensión 0. La definición de este tipo de módulos que se maneja en la actualidad viene de la década de los 90 y se debe a Edgar Enochs y Overtoun Jenda.

La primera parte de la charla consiste en mostrar algunos resultados conocidos en el área del álgebra homológica Gorenstein. Concretamente, nos centraremos en algunos aspectos homológicos y homotópicos de los módulos Gorenstein proyectivos y Gorenstein inyectivos. Por ejemplo, la subcategoría de módulos Gorenstein proyectivos es una categoría de Frobenius cuyo cociente bajo cierta relación es una categoría estable que puede describirse también como la categoría de homotopía de cierta estructura de modelos cuando se trabaja sobre anillos Iwanaga-Gorenstein. Luego comentaremos algunas generalizaciones de los módulos Gorenstein, conocidos como módulos Ding y módulos AC-Gorenstein.

En la segunda parte de la charla hablaré sobre algunos resultados recientes en álgebra homológica Gorenstein relativa, que he obtenido con la colaboración de Sergio Estrada y Octavio Mendoza. La idea general será mostrar un mínimo de condiciones suficientes en una categoría abeliana para obtener estructuras de modelos Gorenstein proyectivas y Gorenstein inyectivas relativas. Tales condiciones estarán contenidas en el concepto de categoría Gorenstein relativa a un triple G-admisible, las cuales generalizan las categorías Gorenstein definidas por Beligiannis y Reiten en el 2000.

Las acciones de grupos sobre espacios topológicos constituyen un puente natural entre la dinámica y el álgebra. En esta charla presentaremos una generalización, en términos de acciones de grupo, del Teorema 2.2 de [1], que establece una condición necesaria y suficiente para la existencia de homeomorfismos expansivos en espacios compactos numerables.

El contenido se basa en el trabajo reciente del autor [2], donde se estudian las cardinalidades de los grupos que pueden actuar de forma expansiva sobre un espacio topológico dado. Este análisis conduce a una caracterización de la Hipótesis Generalizada del Continuo (GCH), un principio central de la teoría de conjuntos con implicancias en álgebra y lógica, en términos de existencia de acciones expansivas. La exposición intentará desarrollarse de la forma más autocontenida posible.

Referencias:

[1] H. Kato and J. J. Park, Expansive homeomorphisms of countable compacta, Topology and its Applications 95 (1999), 207–216.

[2] Ferrari, L., Expansive actions and the GCH, Topology and its Applications, 361, 109190, 2025.

Las bases de Grobner tienen diversas aplicaciones en álgebra computacional. En particular permiten definir la división entre polinomios de varias variables, de forma que esta se comporte como uno esperaría. También permiten determinar si un sistema de polinomios tiene solución, cuántas soluciones tiene, y "escalerizar" el sistema de polinomios para buscar sus soluciones.

El concepto de base de Grobner fue introducido por Bruno Buchberger en su tesis doctoral de 1966. En ese mismo trabajo se introduce el algoritmo de Buchberger, en el que se basan los algoritmos para calcular bases de Grobner. La gran desventaja de las bases de Grobner es que su cálculo puede ser muy costoso desde el punto de vista de recursos computacionales (tiempo de ejecución y uso de memoria).

En esta charla voy a dar más detalles sobre la definición de base de Grobner, algunas de sus aplicaciones en álgebra de polinomios, y sobre el algoritmo que permite calcularlas. Voy a ilustrar estos conceptos mediante el uso de dos programas que permiten calcular bases de Grobner y trabajar con ellas: Macaulay2 y msolve.