Las álgebras nearly Frobenius surgen como una generalización natural de las álgebras Frobenius al eliminar la condición de counidad en la caracterización de Abrams.

Dada un álgebra de dimensión finita A todas las posibles estructuras de álgebra nearly Frobenius de A forman un espacio vectorial de dimensión finita. A la dimensión de este espacio le llamamos dimensión de Frobenius (Frobdim A)

En esta charla presentaré algunos ejemplos y cotas para la dimensión de Frobenius. Luego me centraré en el caso de cocientes de álgebras de caminos kQ/Rm, donde R es el ideal generado por las flechas y explicaré cómo se obtiene la dimensión de Frobenius en esta familia de álgebras.

Este es un trabajo conjunto con Ana González, Gustavo Mata, Javier Cóppola y Jazmín Finot.

El álgebra, y en particular la teoría de categorías, ha demostrado ser un marco particularmente adecuado para describir y comprender la semántica de los lenguajes de programación. Desde los primeros modelos del λ-cálculo hasta las formulaciones modernas de las teorías de tipos, numerosas construcciones categóricas han encontrado una interpretación natural en el estudio de los programas y su comportamiento.

En esta charla introduciremos algunas de las ideas fundamentales de esta interacción. Partiremos de un lenguaje funcional puro y fuertemente tipado con una semántica operacional sencilla y veremos cómo sus tipos y programas admiten una interpretación categórica natural. A partir de allí, de forma incremental recorreremos algunas características fundamentales de los lenguajes funcionales y las herramientas categóricas utilizadas para modelarlas: las funciones de alto órden mediante objetos exponenciales, los tipos parametrizados mediante funtores, el polimorfismo paramétrico mediante transformaciones naturales, los tipos inductivos y la recursión mediante álgebras iniciales de endofuntores, y los efectos computacionales mediante mónadas.

La exposición será principalmente conceptual y no asumirá conocimientos previos de teoría de lenguajes de programación.

Este curso se centrará en temas de álgebra homológica, con especial énfasis en las representaciones de álgebras.

La conjetura finitista se formuló hace 66 años, y cientos de artículos de investigación han consolidado su enigmático perfil. En las presentaciones, ofreceremos un resumen de algunos resultados relacionados con la conjetura finitista, haciendo especial hincapié en herramientas más recientes como las funciones de Igusa-Todorov, las álgebras de Igusa-Todorov, el delooping level, etc.

También relacionaremos esta conjetura con otras conjeturas homológicas casi tan populares, como la del título.

Voy a hablar de un tema en la frontera entre el álgebra y la topología, al que llegué por una combinación de "una cosa lleva a la otra" y "las malas compañías". Las malas compañías son Juan Alonso (CMAT) y Álvaro Lozano (Universidad de Zaragoza).

El tema son los grupos inaccesibles, una clase de grupos finitamente generados con una definición sencilla cuyo primer ejemplo, encontrado por Martin Dunwoody, data de 1996. Voy a introducir algunas nociones básicas de geometría de grupos que permitirán definir los grupos inaccesibles, y hablaré de la sorprendente geometría del grupo de Dunwoody, presentando resultados nuevos.

En esta charla exploraremos la conexión entre las formas modulares para el grupo ortogonal $O(5)$ y las formas paramodulares de Siegel de peso 3, utilizando esta relación como puente para realizar cálculos explícitos.

Presentaremos la construcción de una nueva base de datos de formas paramodulares racionales de nivel $N$ hasta $10^4$.

El foco principal de la presentación serán los desafíos computacionales que surgen al trabajar a esta escala. Discutiremos cómo lidiar con la explosión de la dimensión de los espacios involucrados, la optimización de los operadores de Hecke y las técnicas algorítmicas necesarias para procesar estos cálculos. Finalmente comentaremos la utilidad de esta base de datos en ejemplos de paramodularidad de variedades Calabi-Yau.

Es bien sabido que el grupo de automorfismos $Cr_n$ (como variedad algebaica) del espacio afín $\mathbb C^n$, donde $n\geq 2$, no acepta una estructura de variedad algebraica (ni de esquema, ni de pila algebraica). Sin embargo, es posible dotarlo de una topología "razonable", que permite filtrarlo por conjuntos cerrados que son variedades algebraicas de dimensión cada vez más grande: el grupo de Cremona afín $Cr_n$ es una ind-variedad. Naturalmente se presenta la pregunta sobre cómo son sus subgrupos cerrados, y en particular cuáles de ellos son grupos algebraicos; la búsqueda de subgrupos algebraicos de $Cr_n$ de "contenido geométrico" se vuelve también una pregunta interesante.

Por otra parte, es conocido que las derivaciones del álgebra de polinomios en $n$ variables $\mathbb C[x_1,\dots,x_n]$ están relacionadas como las foliaciones analíticas de $\C^n$, y también pueden verse como campos de vectores tangentes a $\mathbb C^n$.

Dado que el grupo de Cremona $Cr_n$ es el grupo de automorfismos del álgebra de polinomios $\mathbb C[x_1,\dots,x_n]$, podemos hacerlo actuar por conjugación en el módulo de las derivaciones de dicha álgebra. El grupo de isotropía $Aut(D)$ de una derivación $D$ va a codificar entonces propiedades de la clase de conjugación de $D$.

En esta charla presentaremos brevemente los conceptos mencionados en los párrafos anteriores, para luego centrarnos en el estudio del grupo de isotropía de las llamadas derivaciones simples (aquellas que solamente estabilizan los ideales triviales), y algunos aportes que realizamos al mismo junto con I. Pan y P.L. Montagard. La charla asumirá conocimientos básicos de geometría algebraica y se centrará en presentación de los problemas y las ideas generales de cómo abordarlos, y no tanto en las técnicas específicas utilizadas en nuestro trabajo.

En esta charla daré una introducción a los métodos algebraicos para resolver problemas de optimización en variedades algebraicas reales.

En la primera parte de la charla explicaré cómo la optimización polinomial puede reducirse al problema de construir certificados algebraicos de positividad en variedades y cómo tales certificados pueden construirse en la práctica mediante algoritmos eficientes. Tales algoritmos requieren conocer los "grados" de estos multiplicadores. En la segunda parte de la charla describiré resultados recientes que caracterizan completamente estos grados para curvas algebraicas reales y para algunas superficies (trabajo conjunto con G. Blekherman, R. Smith y R. Sinn). La charla será autocontenida y no asumirá conocimientos previos de optimización ó geometría algebraica real.