La expresión de integración por partes en un intervalo $[a,b]$ de la recta es: $$ \int_{a}^{b} f g^{\prime} = f g \rvert_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{\prime} g .$$ Se puede obtener una expresión similar al integrar en un volumen sólido $\Omega$ del espacio $\mathbb{R}^3$. Esta expresión se basa en la ley de integración de Gauss (o de la divergencia).

Para un campo vectorial $\vec{F}:\Omega \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, definido en un abierto $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$ (un sólido), la ley de Gauss relaciona la integral del campo sobre el borde del dominio $\partial \Omega$, con la integral de la divergencia del campo sobre el dominio $\Omega$: $$ \int_{\partial \Omega} \vec{F} = \int_{\Omega} \text{div}(\vec{F}) .$$

Aplicando esta ley a un campo vectorial de la forma: $$ \vec{F} = f \vec{G}, \quad \vec{G}:\Omega \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} ,$$ se tiene: $$ \int_{\partial \Omega} f \vec{G} = \int_{\Omega} \text{div}(f \vec{G}) .$$

Usando la definición de divergencia, es sencillo probar que el integrando de la derecha cumple la siguiente relación: $$ \text{div}(f \vec{G}) = f \text{div}(\vec{G}) + \left\langle \nabla f, \vec{G} \right\rangle .$$ Reemplazando en la anterior ecuación, se tiene: $$ \int_{\partial \Omega} f \vec{G} = \int_{\Omega} f \text{div}(\vec{G}) + \int_{\Omega} \left\langle \nabla f, \vec{G} \right\rangle .$$

Reordenando términos, se llega a la expresión de integración por partes buscada: $$ \int_{\Omega} f \text{div}(\vec{G}) = \int_{\partial \Omega} f \vec{G} - \int_{\Omega} \left\langle \nabla f, \vec{G} \right\rangle .$$

Esta es muy similar a la expresión de integracion por partes en un intervalo $[a,b]$, con la diferencia de que ahora se tienen dos tipos de derivadas: la divergencia y el gradiente.