Electrones en la esfera

Supongamos que tenemos $n$ electrones en la superficie de una esfera, que se repelen entre sí según la fuerza de Coulomb. Para llegar al equilibrio, donde las fuerzas se anulan entre sí, los electrones se van a distribuir en la esfera de forma de minimizar la energía de Coulomb. Si denotamos la posición de cada electrón mediante vectores $w_1,\ldots,w_n$, la energía de Coulomb viene dada por: $$ E_n = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1, j \neq i}^n \frac{1}{ |w_i-w_j|_2 } ;$$

¿Qué tan separados entre sí están los electrones cuando llegan al equilibrio? Una forma de medir esto, es calcular la distancia entre todos los pares de electrones, y mirar la menor de estas distancias.

Distancia de separación en la esfera
Distancia de separación en la esfera (geogebra.org).

Esta menor distancia se denomina “distancia de separación” de la configuración, y se puede expresar mediante: $$ d_n := \min_{1 \leq i < j \leq n} |w_i - w_j |_2 .$$

¿Qué pasa con esta distancia si agregamos más electrones a la esfera, y esperamos a que alcancen nuevamente el equilibrio? Como la superficie de la esfera es finita, y estamos agregando cada vez más puntos, es evidente que la menor distancia va a tender a cero al aumentar la cantidad de puntos. ¿Qué tan rápido tiende a cero esta menor distancia, a medida que la cantidad de puntos $n$ crece?

Para el caso de los puntos que minimizan la energía de Coulomb, en un trabajo de 1978, Björn Dahlberg probó que la distancia de separación está acotada inferiormente mediante 1: $$ d_n \geq \frac{C}{ \sqrt{n} }, \quad \forall \ n \geq 2, \quad C > 0 .$$ Esto implica que la distancia de separación tiende a cero al menos tan “lento” como $\frac{C}{ \sqrt{n} }$, cuando $n$ tiende a infinito. El trabajo de Dahlberg no brinda el valor de la constante $C$ de la cota. Sin embargo, en un trabajo de 2007, Dragnev y Saff probaron que una posible constante es 2: $C=\sqrt{2}$.

Ahora que conocemos el caso de la energía de Coulomb, podemos preguntarnos lo siguiente: ¿existe una forma de distribuir puntos en la esfera, de forma que al aumentar la cantidad de puntos $n$, la distancia de separación de estos tienda a cero más lento que el $\frac{1}{ \sqrt{n} }$ de Coulomb? En ese caso: ¿Qué es lo más lento que puede tender a cero la distancia de separación?

El problema de Tammes (o Best Packing)

El problema de Tammes consiste en buscar una configuración de $n$ puntos en la esfera, de forma que estos tengan distancia de separación máxima. Es decir: $$ \max_{w_1,\ldots,w_n \in S^2} \min_{i \neq j} |w_i - w_j |_2 .$$ Hasta el momento no se conoce una forma de hallar soluciones para el problema de Tammes. Sin embargo, sí se conoce el valor óptimo del problema de Tammes. En concreto, en un trabajo de 1951, Habicht y Van der Waerden probaron que la distancia de separación $d_n$, asociada a una configuración solución del problema de Tammes, cumple 3 4: $$ \frac{C_1}{\sqrt{n}} - \frac{C_2}{ n^{2/3} } \leq d_n \leq \frac{C_1}{\sqrt{n}}, \quad C_1 = \sqrt{ \frac{ 8 \pi }{ \sqrt{3} } } \simeq 3.809, \quad C_2 > 0 .$$

Por lo tanto, lo más lento que puede tender a cero la distancia de separación, para cualquier configuración de puntos en la esfera, es de la forma: $\frac{1}{ \sqrt{n} }$; tal como en el caso de Coulomb. Esto motiva la siguiente definición:

Una secuencia de configuraciones de $n$ puntos es “bien separada”, si se cumple: existe $C>0$, independiente de $n$, tal que: $$ d_n \geq \frac{C}{ \sqrt{n} }, \quad \forall \ n \geq n_0 .$$

En particular, vimos que los puntos que minimizan la energía de Coulomb son bien separados. Esto no significa que los puntos de Coulomb sean una solución del Problema de Tammes; porque si bien el orden de convergencia a cero es igual al de Tammes, el valor de la constante $C$ puede no ser óptimo.

Veamos ahora qué podemos decir sobre la distancia de separación de puntos que minimizan otras energías, distintas a la de Coulomb.

Energía de Riesz mínimia

Una forma de generalizar la energía de Coulomb, es considerar un valor distinto de 1 para el exponente de las distancias. Esto define una familia de energías, que se conocen como energías de Riesz, de parámetro $s>0$:

$$ E_{n,s} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1, j \neq i}^n \frac{1}{ | w_i - w_j |_2^{s} }, \quad s > 0 .$$

Al igual que en el caso de Coulomb, buscamos configuraciones que minimicen la energía de Riesz:

$$ \min_{w_1,\ldots,w_n \in S^2} \sum_{j \neq i} \frac{1}{ | w_i - w_j |_2^{s} }, \quad s > 0 .$$

¿Qué podemos decir de la distancia de separación de las configuraciones que minimizan estas energías? Podemos afirmar que estas son bien separadas, excepto para el caso de $s=2$, en donde no se sabe si se cumple la buena separación. Para $s=2$, la mejor cota que se conoce fue probada por Kuijlaars y Saff, en 1998 5:

$$ d_n \geq \frac{C}{ \sqrt{ n \log{n} } }, \ \forall \ n .$$

En ese mismo trabajo prueban la buena separación para las energías de Riesz con parámetros $s>2$. Por otro lado, en un trabajo de 2007, Dragnev y Saff prueban la buena separación en el caso $0 < s < 2$, y además brindan una expresión para la constante de la cota, en función del parámetro $s$: 2

$$ d_n \geq \frac{C_s}{ \sqrt{n} }, \ \forall \ n \geq 3, \quad C_s = 2 \sqrt{1-s/2}, \quad 0 < s < 2 .$$

Unos años antes, en un trabajo de 2004, Kuijlaars, Saff y Sun habían probado la buena separación para los casos $1 \leq s < 2$, aunque sin una expresión para la constante de la cota 6.

Energía de Riesz máxima

Consideremos ahora el caso de la energía de Riesz, con parámetro negativo: $s < 0$. Esta se puede expresar mediante:

$$ E_{n,s} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1, j \neq i}^n \frac{1}{ | w_i - w_j |_2^s } = $$

$$ = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1, j \neq i}^n | w_i - w_j |_2^{-s}, \quad s < 0 .$$

En este caso, es claro que el valor mínimo es cero, y se alcanza cuando todos los puntos son iguales entre sí. Por lo tanto, el problema de minimizar esta energía no es de mucho interés. El problema interesante en este caso es el de maximizar la energía:

$$ \max_{w_1,\ldots,w_n \in S^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1, j \neq i}^n | w_i - w_j |_2^{-s}, \quad s < 0 .$$

Para este tipo de problema, los resultados que existen no garantizan buena separación.

Caso $s=-1$

Para $s=-1$, la energía de Riesz es la suma de distancias:

$$ E_{n,s} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1, j \neq i}^n | w_i - w_j |_2 .$$

En este caso particular, la mejor cota conocida es de un trabajo de Stolarsky de 1975, y viene dada por: 7 $$ d_n \geq \frac{2}{3} \frac{1}{n}, \quad \forall \ n \geq 2 .$$

Caso $-2 < s < 0$

En ese mismo trabajo, Stolarsky prueba una cota similar para otros valores del parámetro $s < 0$: $$ d_n \geq \frac{C_s}{ n^{\frac{1}{2+s}} }, \quad \forall \ n \geq 2, \quad C_s = \left( \frac{4|s|2^s}{2-s} \right)^{\frac{1}{2+s}}, \quad -2 < s < 0 .$$

Notar que esto no brinda buena separación, debido a que $2+s < 2$, cuando $-2 < s < 0$.

Caso $s \leq -2$

Por otro lado, para la energía de Riesz de parámetro $s \leq -2$, se puede probar que las configuraciones que maximizan dichas energías pueden tener distancia de separación nula. Esto hace que dichos casos no sean de mucho interés desde el punto de vista de la distancia de separación.

Por ejemplo, para el caso $s=-2$, la energía de Riesz a maximizar, es la suma de distancias al cuadrado:

$$ E_n = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1, j \neq i}^n | w_i - w_j |_2^2 .$$

Es sencillo ver que cualquier configuración con centro de masa nulo, es solución de este problema 8. En particular, si la cantidad de puntos $n$ es par, podemos maximizar la energía colocando $n/2$ puntos en el polo norte, y $n/2$ puntos en el polo sur. Esta configuración tiene distancia de separación nula.

Energía Logarítmica

La energía de Riesz con $s=0$ es una función constante, por lo que no es de interés. Sin embargo, podemos asociar al valor $s=0$ la energía logarítrmica, definida mediante:

$$ E_{\log} = - \sum_{i=1}^n \sum_{j=1, j \neq i}^n \log \left( | w_i - w_j |_2 \right) .$$

En este caso el problema de interés es el de minimizar la energía logarítmica. Al igual que para la mayoría de las energías de Riesz, no sabemos cuáles son las configuraciones que resuelven este problema. Sin embargo, sí podemos afirmar que estas son bien separadas.

En un artı́culo de 1995, Rakhmanov, Saff y Zhou, probaron la siguiente cota para la distancia de separación: 9 $$ d_n \geq \frac{3}{5} \frac{1}{ \sqrt{n} }, \ \forall \ n \geq 2 .$$

La prueba se realiza en el plano complejo, y se basa fuertemente en la llamada “Fórmula integral de Cauchy”. Al año siquiente, Arturas Dubickas logró mejorar la constante en la cota, probando que se cumple: 10 $$ d_n \geq \frac{7}{4} \frac{1}{ \sqrt{n} }, \ \forall \ n \geq 2 .$$

Finalmente, en un artı́culo de 2002, Peter Dragnev obtuvo la mejor cota conocida hasta la fecha para los puntos que minimizan la energía logarı́tmica: 11 $$ d_n \geq \frac{2}{ \sqrt{n-1} }, \ \forall \ n \geq 2 .$$

Referencias

  1. Dahlberg, B. E. (1978). On the distribution of Fekete points. ↩

  2. Dragnev, P. D., & Saff, E. B. (2007). Riesz spherical potentials with external fields and minimal energy points separation. Potential Analysis, 26(2), 139-162. ↩ ↩2

  3. Habicht, W., & Van der Waerden, B. L. (1951). Lagerung von Punkten auf der Kugel. Mathematische Annalen, 123(1), 223-234. ↩

  4. Saff, E. B., & Kuijlaars, A. B. (1997). Distributing many points on a sphere. The mathematical intelligencer, 19, 5-11. ↩

  5. Kuijlaars, A., & Saff, E. (1998). Asymptotics for minimal discrete energy on the sphere. Transactions of the American Mathematical Society, 350(2), 523-538. ↩

  6. Kuijlaars, A. B. J., Saff, E. B., & Sun, X. (2004). Minimum Separation of the Minimal Energy Points on Spheres in Euclidean Spaces. ↩

  7. Stolarsky, K. B. (1975). Spherical distributions of N points with maximal distance sums are well spaced. Proceedings of the American Mathematical Society, 48(1), 203-206. ↩

  8. Hille, E. (1966). Some geometric extremal problems. Journal of the Australian Mathematical Society, 6(1), 122-128. ↩

  9. Rakhmanov, E. A., Saff, E. B., & Zhou, Y. M. (1995). Electrons on the sphere. Computational Methods and Function Theory 1994 (pp. 293-309). ↩

  10. Dubickas, A. (1996). On the maximal product of distances between points on a sphere. Lithuanian Mathematical Journal, 36(3), 241-248. ↩

  11. Dragnev, P. D. (2002). On the separation of logarithmic points on the sphere. In Approximation Theory X: Abstract and Classical Analysis (pp. 137-144). Vanderbilt University Press, Nashville, TN. ↩