Viernes 10 de junio, Fernando Alcalde (Universidad Santiago de Compostela) Foliaciones sin holonomia de 3-variedades compactas

Resumen. El propósito de la charla es proponer algunas cuestiones relacionadas con las foliaciones sin holonomía de 3-variedades compactas.

Viernes 27 de mayo, Pablo Lessa Fórmulas tipo Furstenberg y velocidad positiva para caminatas al azar en conjuntos discretos del plano hiperbólico

Viernes 20 de mayo, Rafael Potrie Exponente crítico de estructuras proyectivas en superficies y rigidez

Viernes 13 de mayo, Emiliano Sequeira Geometría a gran escala de grupos de Heintze

Resumen. Un teorema de Heintze del 74 muestra que toda variedad Riemanniana homogénea, conexa, simplemente conexa y de curvatura negativa es isométrica a un grupo de Lie con una estructura particular, dotado de una métrica invariante por traslaciones a izquierda. Estos son los llamados grupos de Heintze. Como la elección de la métrica invariante a izquierda no cambia la clase de cuasi-isometría de un grupo de Lie, tenemos que la geometría a gran escala de éstos sólo depende de su estructura como grupos de Lie. De aquí el afán por encontrar invariantes algebraicos por cuasi-isometrías. La conjetura más importante en este sentido es la siguiente: Dos grupos de Heintze son cuasi-isométricos si y sólo si son isomorfos. Esta conjetura ha sido probada sólo en algunos casos particulares, sin embargo hay algunos resultados un poco más débiles que pueden obtenerse en general, entre ellos la invarianza de ciertas estructuras algebraicas. El objetivo de la charla será introducir los grupos de Heintze y hablar sobre estos invariantes.

Viernes 6 de mayo, Javier Correa (UFRJ) Transitividad de aplicaciones de recubrimiento del toro

Resumen: Dado un endomorfismo del toro Tn nos preguntamos si un comportamiento caótico de la parte lineal induce propiedades dinámicas en el sistema. Recientemente Martin Andersson provo que en dimensión 2, si la parte lineal es hiperbólica y el sistema preserva volumen entonces es transitivo. Junto a Martin, abordamos el problema en dimensiones mayores. Comenzaremos por repasar el resultado en dimensión 2 para ver cuales son las dificultades en el caso general. Introduciremos el concepto de no resonancia para obtener un extensión parcial del resultado en dimension 2 y probaremos el teorema para skew-products en dimensión 3.

Viernes 22 de abril, Indira Chatterji (Univ. Niza) Group actions on CAT(0) cube complexs

Resumen: Indira nos va a dar una introducción general, para no especialistas, sobre complejos cúbicos CAT(0) y su rol en la demostración reciente de la conjetura Virtualmente Haken.

Martes 19 al Viernes 22 de abril, Francois Labourie (Univ. Niza) Introducción a los Fibrados de Higgs

Abstract. This mini course will give an introduction to the major results of the theory of Higgs bundles initiated by Kevin Corlette, Simon Donaldson, Nigel Hitchin and Carlos Simpson in the 90's. This theory is usually described as a non linear analogue of the classical hodge theory on Riemann surfaces which gives isomorphism a between various notions of cohomology: Dolbaut,deRham, simplicial. The mini course will consist in 4 lectures with little prerequisite and available online hand written notes. The first lecture will describe background on semi simple groups and symmetric spaces. The second lecture will describe harmonic mappings into symmetric spaces and Higgs bundles. The third lecture will describe the three major constructions of the theory: the Hitchin-Simpson theorem, the Corlette-Donaldson theorem and the Hitchin Fibration which provides isomorphisms between natural generalizations of the cohomology theories for Riemann surfaces. The fourth lecture will describe the Hitchin section and Hitchin components.

Viernes 1 de abril, Sandro Vaienti (Univ. Marsella) Optimal decay of correlations for non-uniformly hyperbolic dynamical systems

Abstract. We present some new result about optimal decay of correlations (lower bounds), for invertible and non-invertible dynamical systems with weak hyperbolicity.

Viernes 18 de marzo, Andres Sambarino (IMG-PRG-Paris VI) Introducción a la teoría de Teichmuller

Viernes 11 de marzo, Martin Reiris (CMAT), Clasificando las soluciones estáticas en el vacío

Resumen. En 1916 Schwarzschild dio la primera solución estática en el vacío que entonces se interpretó como el campo gravitatorio en Relatividad General de una masa puntual. Cuarenta años demandó entender que representa el campo gravitatorio de un agujero negro. Mas tarde, en 1967, Israel probó que es única entre la clase de soluciones estáticas asintóticamente planas y con horizonte conexo. En la charla presentaremos un programa en curso para clasificar todas las soluciones estáticas regulares (en particular sin hipótesis asintóticas). Comenzaremos con una breve introducción a las soluciones estáticas y luego presentaremos una técnica básica y central de comparación geométrica a la Backry/Emery y algunas de sus aplicaciones en el programa general mencionado.

Viernes 4 de marzo, Gabriel Fuhrman (University of Jena), The amorphic complexity of Toeplitz shifts

Abstract. In this talk, we study the amorphic complexity of regular Toeplitz shifts (i.e., certain minimal subshifts). Here, the amorphic complexity equals the box dimension of the corresponding maximal equicontinuous factor $(\tau,\mathcal O)$ equipped with a metric which makes $\tau$ an isometry. This observation allows us to compute the amorphic complexity of certain Toeplitz flows by means of an iterated function system.

Viernes 19 de febrero, Luna Lomonaco (USP) On the quasiconformal (in-)compatibility of the satelite copies of the Mandelbrot set

Abstract. For a polynomial on the Riemann sphere, infinity is a (super) attracting fixed point, and the filled Julia set is the set of points with bounded orbit. Consider the quadratic family P_c(z)=z^2+c. The Mandelbrot set M is the set of parameters c such that the filled Julia set of P_c is connected. Douady and Hubbard, using renormalization, proved the existence of homeomorphic copies of M inside of M, which can be primitive (if, roughly speaking, they have a cusp) or satellite (if they don't). They conjectured that the primitive copies of M are quasiconformal homeomorphic to M, and that the satellite ones are quasiconformal homeomorphic to M outside any small neighbourhood of the root. These results are now theorems due to Lyubich. The satellite copies are not quasiconformal homeomorphic to M, but are they mutually quasiconformally homeomorphic? In a joint work with C. Petersen we prove that this question, which has been open for about 20 years, has in general a negative answer.

Viernes 18 de diciembre de 2015, Mario Shannon, Sistemas parcialmente hiperbólicos en variedades de Seifert.

Resumen. En este trabajo (que estamos escribiendo en colaboración con R. Potrie y A. Hammerlindl) estudiamos el problema de determinar cuáles son las variedades de Seifert que admiten sistemas parcialmente hiperbólicos, y cuáles no. Parte de esta pregunta ya era conocida a partir de obstrucciones topológicas derivadas de los trabajos de Burago-Ivanov. Nuestro trabajo consiste en encontrar nuevas obstrucciones, que permiten obtener un panorama completo del asunto. En esta charla presentaremos este resultado para fibrados por círculos sobre superficies, que son una subfamilia de las variedades de Seifert.

Abstract. We introduce the notion of amorphic complexity as a new topological invariant which measures the complexity of dynamical systems in (a part of) the regime of zero entropy. After discussing basic properties and examples of amorphic complexity, we show its application to regular Toeplitz subshifts and pinched skew-product systems with strange non-chaotic attractor. If time permits, we present some further aspects of amorphic complexity in the context of symbolic dynamics. This is joint work with Gabriel Fuhrmann and Tobias Jäger.

Viernes 11 de diciembre, Philippe Thieullen Non selection of the Gibbs measures at zero temperature

Abstract: We consider a simple model of a dynamical system at equilibrium for which it is possible to define a Gibbs probability measure at every temperature T=1/beta with respect to an (Hamiltonian) interaction H. The system is given by a sub-shift of finite type of dimension 1. We want to understand the limit of these Gibbs measures when the temperature goes to zero. All the accumulation measures are minimizing with respect to H (as in ergodic optimization theory). There may be several minimizing measures. By freezing the system, it is possible in some cases to select one of these minimizing measures. We show that the non-selection case may also happen for simple systems. We will explain the zero-temperature phase diagram in terms of Peierls barrier and tools borrowed from weak KAM theory.

Viernes 4 de diciembre, Dante Chialvo (Conycet, Buenos Aires) The brain is critical

Abstract: Systems which are near an edge between order and disorder behave di erently. This intuitive notion led several of us to argue, two decades ago, that the most fundamental properties of the functioning brain are only feasible if it somehow spontaneously locates itself at the border of an instability. Supposedly, it is the mix of order and disorder, found generically at criticality, that allows the brain to be a brain. In this talk we review the motivations and then describe experimental results supporting this hypothesis both in health and disease, at various brain scales ranging from a few millimeters up to the entire brain cortex. (Papers and background information can be found in www.chialvo.net

Viernes 27 de noviembre, Joaquín Brum, Espacios de ordenes en grupos y acciones en la recta.

Resumen. Un orden invariante a izquerida en un grupo G es un orden total < en G que cumple: que para cualquier terna g,h,k en G, si h < k entoces gh < gk. A su vez el conjunto de todos los ordenes invariantes a izquierda en un grupo finitamente generado es naturalmente metrizable, resultando siempre un espacio métrico compacto totalmente disconexo. Veremos que existe un vinculo muy fuerte entre los ordenes invariantes a izquierda en un grupo G y las acciones de G en la recta. Por ejemplo: -G admite un orden invariante a izquierda sii actua fielmente en la recta, -G admite un orden aislado sii hay acciones de G con cierta estabilidad estructural. Intentaremos mostrar como funciona este vínculo y como utilizarlo para probar que el espacio de ordenes de una superficie hiperbólica es un conjunto de Cantor.

Resumen: En 1973, Cheeger, motivado por las métricas de Berger en esferas, estudió una construcción general en variedades riemannianas con acciones isométricas que 'encogen' la métrica en la dirección de las órbitas. Dada una métrica bi-invariante en un grupo de Lie y una métrica invariante bajo la acción de G en una variedad M se obtiene una nueva métrica en M. En particular, si la métrica original tiene curvatura seccional no negativa, la nueva también; por lo que estas deformaciones han sido el tema común en la construcción de ejemplos de métricas no negativas. Describiremos de qué manera es que se 'encogen' las fibras exhibiendo el comportamiento limítrofe de una familia 1-paramétrica de métricas asociadas a tales deformaciones. De igual modo mostraremos cómo este tipo de construcción aparece de manera natural en la geometría de los espacios tangentes de una variedad riemanniana arbitraria.

Viernes 13 de noviembre, Juliana Xavier Acciones planas del Baumslag-Solitar

Resumen: Con Juan, Nancy y Cristóbal estamos estudiando representaciones del BS(1, n) por homeos del plano que preservan orientación y elemento que conjuga lineal. Es decir, consideramos f, h : R^2 → R^2 tales que hf h {−1} =f^n, n ≥ 2, y asumimos que h es una transformación lineal. Además, asumimos que f tiene desplazamiento acotado. Dependiendo de los valores propios de h, inventamos ejemplos y si no nos salen probamos teoremas de no existen ejemplos.

Viernes 6 de noviembre, Sebastien Alvarez (IMPA) Ends dynamics and algebraic structures of groups acting on the circle.

Abstract. We study the following natural question: how does the algebraic structure of a group of diffeomorphisms of the circle affects its dynamics, and reciprocally? For example, we know since Denjoy that a cyclic group of C2 diffeomorphisms acts on the circle without an invariant Cantor set. Better: a theorem of Ghys, which relies on a work by Duminy, states that the groups of analytic diffeomorphisms with an exceptional minimal set are virtually free. A group G which admits an exceptional minimal set is discrete in a special sense: for any interval I intersecting the minimal set, the restriction of the identity to I is isolated in the C1 topology among the set of restrictions to I of the diffeomorphisms of G. In this talk we intend to illustrate a paradigm which appears in recents work by Deroin, Kleptsyn, Navas and Filimonov: this notion of discreteness separates groups with a simple dynamics and a well determined algebraic structure (the group is virtually free or conjugated to an extension of a Fuchsian group), from groups with a rigid yet rich dynamics. It is a joint work with D. Filiminov (HSE Moscou), V. Kleptsyn (CNRS, Rennes), D. Malicet (PUC), C. Meniño (PUC), A. Navas (USACH, Santiago), and M. Triestino (PUC).

Viernes 30 de octubre, Fabio Tal (USP), Entropy zero homeomorphisms of the two-sphere

Abstract: We use a newly developed theory of forcing for surface homeomorphisms to obtain aPoincaré-Bendixsonlike result for orientation preserving- homeomorphisms of the 2-sphere with zero topological entropy. If $f$ is such a map, we show that the omega-limit of x for some power of the homeomorphism must be either: 1 - A cycle made of the union of unlinked fixed points and pointsheteroclinicto them. 2 - A set rotating with irrational speed around a fixed point and possibly this fixed point. 3 - An infinitelyrenormalizable set where the restriction of the dynamics is semi-conjugate to the odometer. Joint work with P. LeCalvez

Viernes 23 de octubre, Alberto Verjovsky (UNAM, Cuernavaca) Grupos modulares en el campo de los cuaternios y 4-variedades hiperbolicas

Resumen: El objeto es dar la definición y construcción de grupos modulatres en el campo de los cuaternios y la construcción de 4-variedades hiperbólicas mediante los mismos. Es un trabajo en colaboración con Juan Pablo Díaz y Fabio Vlacci

Viernes 16 de octubre, Francoise Dal'Bo (Universite Rennes 1) An introduction to Margulis approach of the Littlewood conjecture on Diophantine approximations (still open).

Abstract. Diophantine approximations and dynamical systems. The aim of my lectures is to explain in an elementary way how to solve some problems coming from number theory using dynamical systems. As example,I will give the main steps of the proof due to Margulis of the Oppenheim conjecture on quadratic forms in R^n for n>2.

Viernes 9 de octubre, Fernando Alcalde (Universidad Santiago de Compostela) Modelo de Moran sobre grafos

Resumen. El modelo de Moran describe la evolución de la frecuencia de un alelo en una población finita bajo el efecto de la deriva genética o de la selección natural. El propósito de la charla es presentar de modo elemental el modelo de Moran en una población finita que no es homogénea, sino que se estructura mediante un grafo, introducido por de Nowak y sus colaboradores.

Viernes 2 de octubre, Alejandro Passeggi, Entropía vs intervalos de rotación para continuos anulares irreducibles.

Resumen. El conjunto de rotación es un invariante de sistemas dinámicos que ha demostrado en dimensiones bajas, contener la información esencial de la dinámica. Este está formado básicamente por las velocidades promedios de las órbitas, vistas en el cubrimiento universal. Cuando este invariante tiene la misma dimensión que el espacio donde la dinámica actúa, se ha observado que su tamaño provee una cota inferior para la entropía topológica. Por ejemplo, para endomorfismos de grado uno del círculo, la cota esta dada por el log del largo del intervalo. En el toro, cuando el conjunto de rotación tiene interior no vacío, existe una cota inferior para lo entropía dada por número geométrico asociado al mismo (que no es el área, la cual no se sabe si se relaciona o no con la entropía). En el anillo, es fácil ver que se pueden tener segmentos de largo arbitrario como conjunto de rotación, y entropía cero, para lo cual basta considerar mapas twist que preserven los círculos esenciales. Estaba planteada la pregunta, de que pasa con la relación conjunto de rotación-entropía, si nos restringimos a sub-continuos anulares del anillo, que estén mas cerca de ser un círculo, que de ser un anillo. Esta clase de continuos, es muy relevante en dinámica de superficies, ya que aparece naturalmete como borde de regiones invariantes. En un trabajo conjunto con Potrie y Sambarion, probamos que para continuos anulares irreducibles del anillo, no existe una cota para la entropía dada por el largo del intervalo de roación: Teo: Para todo eps existe un mapa que preserva un c.a.i. con un conjunto de rotación de largo mayor o igual a uno, y entropía menor a eps. Probamos además, que si el c.a.i. es atractor, aunque no exista tal cota, un conjunto de rotación no puntual implica entropía positiva para el sistema.

Viernes 25 de setiembre, Elliot Paquette (Weizmann Institute, Israel) The Poisson-Voronoi tessellation in hyperbolic space.

Abstract: We consider the hyperbolic Poisson Voronoi (HPV) tessellation, a probability measure ontilings of hyperbolic space whose vertices are given by ahomogeneous Poisson point process. These tilings are not quasi-isometric to hyperbolic space, as arbitrarily large tiles and arbitrarily small tiles may appear. Nevertheless, we show that they have anchored expansion with probability 1, a relaxation of non-amenability. Due to symmetries of hyperbolic space, the dual graph of HPV is an example of a unimodular random graph. This, together with anchored expansion, allows us to conclude many properties of HPV, such as the random walk moving from its starting point with linear speed. This is based on joint works with Itai Benjamini, Yoav Krauz, and Josh Pfeffer.

Viernes 18 de setiembre, Daniel Coronel (Universidad Andres Bello, Chile), Sensitive dependence of Gibbs measures at low temperature slides

Abstract: The Gibbs measures of an interaction can behave chaotically as the temperature drops to zero. This was first observed in some XY models in statistical mechanics, and then, in some symbolic systems. In this talk we discuss a related phenomenon that we have observed in some quasi-quadratic families. More precisely, there are parameters exhibiting a sensitive dependence of equilibrium states for the geometric potential, that is, an arbitrarily small perturbation on the parameter can produce significant changes in the low-temperature behavior of its equilibrium states. We show that sensitive dependence is also present in some XY models and in some symbolic systems.

Viernes 11 de setiembre, Pablo Guarino (UFF) Medidas absolutamente continuas para mapas bimodales slides

Resumen: Discutiremos algunos asuntos de teoría ergódica diferenciable en dinámica unidimensional. Para sistemas no-uniformemente hiperbólicos, las medidas de probabilidad absolutamente continuas (con respecto a Lebesgue) son una importante herramienta en la comprensión de las dinámicas caóticas que éstos suelen exhibir. Existencia y finitud de estas medidas es un problema de interés, pues permiten buenas descripciones estadísticas del sistema, aún ante la ausencia de atractores. En esta charla nos enfocaremos en endomorfismos del circulo con dos puntos críticos de fold (o sea, sin inyectividad local), cuyas órbitas periódicas son todas repulsoras y tal que ambos bordes de su intervalo de rotación son números irracionales. Estos mapas son ricos del punto de vista dinámico: tienen órbitas periódicas de períodos arbitrariamente grandes, son transitivos, tienen entropía topológica positiva y presentan sensibilidad respecto a condiciones iniciales. Enunciaremos condiciones que caracterizan la existencia de medidas de probabilidad absolutamente continuas para estos sistemas, y mostraremos una amplia clase de mapas que satisfacen dichas condiciones. En todos estos casos, la medida obtenida es la (única) medida física del sistema, y es hiperbólica. Trabajo en colaboración con Sylvain Crovisier (Université Paris-Sud, Orsay) y Liviana Palmisano (Polish Academy of Sciences, Warsaw).

Viernes 4 de setiembre, Andrés Sambarino (IMJ-PRG) El lema de Morse en espacios simétricos

Resumen. El Lema de Morse, una herramienta fundamental de la geometría en curvatura negativa, afirma que en tal espacio una quasi-geodésica (es decir, una sucesión \{x_n\} en X tal que d(x_n,x_m) es comparable a |n-m|) esta uniformemente cerca de una única geodésica. Un tal enunciado es trivialemente falso en el plano (por ejemplo). Recientemente Kapovich-Leeb-Porti prueban una version del Lema de Morse para espacios simetricos. En un trabajo en colaboracion con Bochi y Potrie obtenemos una nueva prueba de este resultado, el objetivo será entonces explicar el enunciado y dar algunas ideas de la prueba. Gran parte de la charla consisitrá en explicar qué es el espacio simétrico de SL(d,\R)=\{matrices dxd de determinante uno\}.

Viernes 28 de agosto, Marcos Barrios, Estudio dinámico de un modelo de redes neuronales

Resumen: En primer lugar, introduciremos el modelo definido por Renato E. Mirollo y Steven H. Strogatz en [1] de redes neuronales cooperativas. Dado que el objetivo es representar fenómenos biológicos con este modelo, surgen naturalmente preguntas sobre la dinámica de la red, en particular aquellas relacionadas con la sincronización de la misma. Para responder a estas preguntas consideraremos dos enfoques: uno analítico y otro combinatorio. El ananlítico se concentrará en las funciones de carga de las neuronas, mientras que el combinatorio tendrá como principal herramienta la interacción entre las mismas. En ambos casos obtendremos resultados de sincronización.

Viernes 21 de agosto, Julliette Bavard (IMJ-PRG) An introduction to homotopy Brouwer theory

Abstract. Homotopy Brouwer theory was first introduced by Handel in 1999 to prove his famous fixed point theorem. One aim of the theory is to get a classification of fixed point free homeomorphisms of the plane relatively to a finite number of their orbits. In this talk, I will describe some basic tools and results of the theory.

Viernes 14 de agosto, Julliette Bavard (IMG-PRG) About a big mapping class group

Abstract. The mapping class group of the complement of a Cantor set in the plane arises naturally in dynamics. To get informations about this big mapping class group, we can look at its action on a hyperbolic space: the ray graph. In this talk, I will explain why this ray graph has infinite diameter and is hyperbolic. I will then exhibit an element of the big MCG which has a loxodromic action on the ray graph, and explain why this element is useful to construct non trivial quasimorphisms on the group.

Viernes 31 de julio, Agustin Moreno (Imperial College, London) Teorema de Non-Squeezing de Gromov

Resumen: La idea de la charla es hablar sobre un teorema clásico y fundacional de la geometria simpléctica, de forma de introducir algunos conceptos básicos de esta área, asi como de la geometria de contacto, como para generar ruido y, con suerte, algo de interés. El teorema, probado por Gromov en su paper sel '85, intuitivamente dice que uno no puede apretar una bola adentro de un cilindro de forma simpléctica, a menos que el radio de la bola sea menor o igual que el del cilindro. Esto nos dice que efectivamente hay mapas que preservan el volumen que no son simplécticos, es decir, la geometria simpléctica no es simplemente la teoria de mapas que preservan el volumen; es algo más y vale la pena estudiarla.

Viernes 10 de julio, Pablo Lessa El espacio de Teichmüller de la foliación de Hirsch.

Resumen corto: En colaboración son Sébastien Alvarez mostramos que el espacio de Teichmüller de la foliación de Hirsch (una foliación minimal de una 3-variedad compacta por superficies hiperbólicas de geometría infinita) es homeomorfo al espacio de curvas cerradas en el plano. Creo que es el primer ejemplo de laminación sin hojas simplemente conexas cuyo Teichmüller se conoce explícitamente. También nos dedicamos a copiar trabajos de Earle, Eells y Schatz del 70 y obtuvimos como corolario que la componente de la identidad en el grupo de diffeomorfismos de la foliación es contractible. Hasta ahí va el resumen corto pero sigo para quien le interese. Resumen largo: Del caso general, es decir del Teichmüller de una laminación minimal de un espacio compacto por superficies hiperbólicas, se sabe deprimentemente poco. El puntapié inicial lo dió Sullivan a principios de los 90 con la definición y un vínculo surrealista con mapas cuadráticos y la constante de Feigenbaum (lectura recomendable para quien quiera bajarse la autoestima). En el mismo paper tenemos 2 ejemplos: el límite inverso de cubrimientos finitos de una superficie hiperbólica compacta (i.e. el solenoide de Sullivan) y otro que se construye a partir de $z \mapsto z^2$ en el círculo y cuyo Teichmüller resulta que da las clases de conjugación $C^1$ de mapas expansores de grado 2 en el círculo. Después Candel a principios de los 90 mostró que existen métricas hiperbólicasen este tipo de foliaciones y exáctamente una en cada clase conforme de métricas Riemannianas. Después un teorema de Deroin muestra que si una laminación minimal de un espacio compacto por superficies hiperbólicas contiene una hoja simplemente conexa entonces su Teichmüller es de dimensión infinita. Este caso incluye los ejemplos de Sullivan pero, hasta donde sé, no se conoce ni el Teichmüller de la foliación centro estable del flujo geodésico de una superficie hiperbólica compacta. Tambien se sabe que las laminaciones minimales por hojas hiperbólicas que no contienen discos son tipo Hirsch (por ejemplo por resultados recientes de Matilde con Alcalde, D'albo y Verjovsky todas las hojas se obtienen pegando un número finito de piezas que son superficies compactas con borde). Pensamos que nuestros métodos permitirían obtener que el Teichmüller de toda laminación minimal por superficies es de dimensión infinita y que en el caso sin discos contiene un espacio de curvas en el Teichmüller de una pieza compacta. Sin embargo obtener explícitamente el Teichmüller de este tipo de laminaciones requiere otras ideas que yo ni idea. También, en vista de un ejemplo debido a Sullivan, parece posible que el Teichmüller de la foliación de Hirsch pueda ponerse en biyección natural con las clases de conjugación de endomorfismos solenoidales de grado 2 de $S^1 \times \widehat{\mathbb{C}}$ (en alguna topología mayor que conjugación topológica porque, como todos saben, esos mapas son estructuralmente estables), y de esto tampoco tengo idea.

Viernes 3 de julio, Alfonso Artigue (Regional Norte) Homeomorfismos cw-expansivos en superficies compactas y Hausdorff.

Resumen. La idea es mostrar que:
1) Existen difeomorfismos del bitoro que son robustamente
cw-expansivos en la topologia Cr, con r mayor que 1.
2) Existen homeomorfismos cw-expansivos del bitoro con puntos cuyo
conjunto estable local no es localmente conexo.
3) Si da el tiempo, contar una idea que permite entender las
foliaciones estables e inestables de un seudo Anosov y la dinámica
asintótica de arcos estables e inestables mediante conjuntos
hipercontinuos.

Viernes 26 de junio, Eleonora Catsigeras Condiciones suficientes para que difeos C1 con splitting dominado tengan entropía positiva.

Resumen: Encontramos varias condiciones que, si son verificadas por la medida de Lebesgue (no necesariamente invariante) implican entropía positiva en difeos C1 con splitting dominado. Algunas de estas condiciones están relacionadas con una fórmula que acota inferiormente la entropía métrica para ciertas medidas invariantes, y que en el caso particular de que el splitting sea parcialmente hiperbólico, es la misma fórmula de Pesin, en el contexto C1, genéricamente no C1 más Hölder.

Viernes 12 de junio, Santiago Martinchich, Flujos de Anosov y grupo fundamental en 3-variedades: Un teorema de Margulis-Plante-Thurston

Resumen: Los flujos de Anosov constituyen un ejemplo paradigmático de la teoría de sistemas dinámicos hiperbólicos continuos. Al día de hoy existen infinitas 3-variedades que se sabe que admiten flujos de Anosov, infinitas que se sabe que no admiten e infinitas que no se sabe si admiten o no. Alo largo de la exposición voy a contar sobre la previa y demostración de la siguiente condición topológica necesaria para la existencia de un flujo de Anosov en una 3-variedad cerrada:

Teorema (Margulis-Plante-Thurston). Si una 3-variedad riemanniana cerrada M admite un flujo de Anosov, entonces el grupo fundamental de M tiene crecimiento exponencial.

Viernes 5 de junio: Luna Lomonaco (USP) Mapas tipo parabólicos

Un mapa tipo polinomio es un mapa proprio y holomorfo f : U' ->U, donde U' y U son dominios isomorfos a discos, y U' está contenido de forma compacta en U. Esta definición captura el comportamiento de un polinomio en un intorno de su conjunto de Julia lleno (que es definido, para polinomios, como el conjunto de puntos con órbita limitada).
Un mapa tipo polinomio de grado d está determinado (modulo conjugación holomorfa) por su clase interna y externa. Esto es, la (clase de conjugación de la) restricción al conjunto de Juliá leno y su complemento. In particular, el mapa externo es un recubrimento del circulo, real-analítico, que preserva la orientación, y expansivo: la expansividad de este mapa implica que todos sus puntos periodicos son repulsores, y en particular no parabólicos.

Extendemos la teoria de los mapas tipo polinomios a una clase de mapas parabólicos, que llamamos de mapas tipo parabólicos.
En esta charla presentamos la teoria de los mapas tipo parabólicos.

Viernes 29 de mayo: Roberto Markarian, Perturbaciones estocásticas de billares convexos

Resumen: Consideramos una mesa de billar estrictamente convexa
con frontera C^2. La dinámica está sujeta a pequeñas perturbaciones
estocásticas al salir de cada choque con la frontera.

La distribución de la perturbación corresponde a la situación física
en que la escala de las irregularidades de la superficie es menor,
pero comparable con la del diámetro del objeto reflejado.

Probamos que para una amplia clase de perturbaciones la cadena de
Markov resultante es uniformemente ergódica, aunque esto no es
cierto en general.

Trabajo conjunto con L.T. Rolla, V. Sidoravicius, F.A. Tal, M.E. Vares.

Viernes 15 de mayo, Andrés Sambarino (CNRS-Univ. Paris 6) Entropía y geometría

El objetivo de la charla es ver como nociones de entropía distinguen entre dos geometrías hiperbólicas en la misma superficie (Teorema de Bishop Steger), o reconocen las geometrias de Hilbert 'mas homogeneas' (Teorema de Crampon). Si hay tiempo, hablaremos de un resultado (en esta dirección) en colaboración con Rafael Potrie sobre las representaciones de Hitchin.

La charla del viernes pasado NO es pre-requisito, pero sirve.

Viernes 8 de mayo: Andrés Sambarino (CNRS-Univ. Paris 6) La geometría de Hilbert de un subconjunto estrictamente convexo

Resumen:

Un conjunto convexo tiene una geometría natural, llamada 'métrica de Hilbert'. El objetivo de la charla es hacer un survey de resultados clásicos del área, por ejemplo,

- Benoist: relacionar propiedades intrínsecas de esta geometría con propiedades del borde del convexo.

- Johnson-Millson: Existencia de geometrias de Hilbert 'no triviales' en variedades compactas.

Finalmente explicaremos un resultado de Crampon que muestra que un invariante dinámico (la entropía del flujo geodésico) reconoce las geometrias de Hilbert mas 'homogéneas'. La prueba es nueva y es un caso especial de un trabajo en colaboración con Rafael Potrie.

Gran parte de la charla es apta para público general.

Viernes 17 y 24 de abril, Matilde Martinez Topología de las hojas de foliaciones por superficies I y II

Resumen: Presentaré el resultado siguiente: Una foliación o es de Hirsch o no es de Hirsch. Para eso voy a contar qué se conoce sobre la topología de las hojas de foliaciones por superficies, explicar qué es la foliación de Hirsch, y enunciar el teorema correctamente. Esto es parte de un trabajo conjunto con Fernando Alcalde, Françoise Dal'Bo y Alberto Verjovsky.

Viernes 10 de abril, Rafael Potrie, Deformaciones de ciertos subgrupos discretos de grupos de matrices

Resumen: Si consideramos una familia finita de matrices invertibles, estas generan un subgrupo considerando sus inversas y productos finitos entre ellas. (Al menos) Cuando el subgrupo generado es discreto se puede obtener información geométrica del grupo a traves de como este se encuentra incluido en el grupo de matrices y una pregunta importante es entender de que manera es posible deformar el encaje (o mejor dicho, representación) del grupo en el grupo de matrices original.

La idea de la charla es hacer una introducción al tema de deformaciones de subgrupos discretos y contar algo sobre dos resultados relacionados con una clase particular de representaciones (de grupos hiperbólicos) introducidas por Labourie y que llevan el nombre de representaciones de Anosov:

1- Un resultado en curso con J. Bochi y A. Sambarino que busca entender mejor el concepto de representaciones de Anosov que está muy relacionado a entender cuando una deformación continúa siendo (fiel y) discreta.

2- Un resultado en colaboración con A. Sambarino que (en ciertos casos) permite detectar las verdaderas deformaciones de representaciones de Anosov. Esto está vinculado a un concepto de entropía.

Viernes 27 de marzo, Cristobal Rivas (USACH), Regularidad para acciones de grupos nilpotentes en el intervalo

Resumen:

Dado G un grupo de homeomorfismos de una variedad M, nos preguntamos qué tan suave puede ser una acción de G en M.

En esta charla pondremos énfasis cuando G es un grupo nilpotente y M es el intervalo. Se sabe por los trabajos de Plante y Thurston en los 70's y de Farb y Franks en los 90's que en éste caso la clase de diferenciabilidad está entre C^1 y C^2. Repasaremos algunos avances recientes en este problema.

Viernes 20 de marzo, Matías Carrasco Espacios de Orlicz y cuasi-isometrías de grupos de Heintze

La co-homología L^p de un espacio métrico a geometría acotada es un invariante de cuasi-isometría. Se trata de una herramienta importante en el estudio de la geometría a gran escala de los espacios hiperbólicos según Gromov. Ha sido muy estudiada y desarrollada, en particular, por Pansu, en el caso de los espacios homogéneos de curvatura negativa (grupos de Heintze, un poco mas general que los espacios simétricos por ejemplo).

Sin embargo, la co-homología L^p no detecta ciertascaracterísticasasintóticas más finas, o de segundo orden, para una clase interesante de estos grupos. En esta charla, voy a introducir una co-homología basada en los espacios de Orlicz. Mostraré como esta co-homología dá nuevas aplicaciones al estudio de las cuasi-isometrías de ciertos grupos de Heintze.

Voy a hacer varios ejemplos y contar un poco lo que se sabe y lo que no sobre grupos de Heintze.

Viernes 6 de marzo, Adriana da Luz (Dijon-CMAT) Star flows y singularidades

En esta charla nos interesaremos por los Star flows singulares, como dice el titulo.

Qué son? son los flujos tales que todo flujo cercano tiene todas sus órbitas periódicas hiperbólicas, y que además tienen singularidades hiperbólicas. En particular nos interesan los Star flows que tienen órbitas periódicas y singularidades conviviendo en la misma clase de recurrencia. El ejemplo clásico de este fenómeno es el atractor de Lorenz.

En dimensión tres, Morales, Pacífico y Pujals probaron que este tipo de flujos son singularmente hiperbólicos. Este tipo de hiperbolicidad que compatibiliza el comportamiento de las órbitas periódicas, si bien funciona en dimensiones mayores, no permite la coexistencia de singularidades de distinto índice en la misma clase de recurrencia.

Con Christian Bonatti construimos un Star flow con una clase de recurrencia que contiene robustamente 2 singularidades de diferente índice, y que si bien no es singularmente hiperbólico si admite otro tipo de hiperbolicidad.

El objetivo de la charla será entonces contarles la construcción del ejemplo y contar cómo es este tipo de hiperbolicidad, que compatibiliza bien tanto con las órbitas periódicas como con las singularidades de distinto índice que aparecen.

Viernes 27 de Febrero Andrés Koropecki (UFF, Rio de Janeiro), Fronteras de abiertos y regiones caóticas para homeomorfismos que preservan área

Resumen: Hablaré sobre algunos resultados que estudian restricciones topológicas y geométricas sobre la frontera de un abierto invariante por un homeomorfismo de superficie que preserva area y que tiene un conjunto de puntos fijos inesencial. El resultado principal dice que un abierto conexo invariante es ``homotópicamente acotado'', que significa que el abierto está a distancia finita de una superficie con borde (en un sentido fuerte). Como consecuencia obtenemos un teorema que describe propiedades interesantes de la región ``caótica'' de sistemas con dinámica irreducible.

Trabajo conjunto Fabio A. Tal.

Viernes 12 de diciembre. Jairo Bochi (PUC-Santiago de Chile), Optimización ergódica y prevalencia

En optimización ergódica, dada una dinámica nos preguntamos cuales son las medidas invariantes que maximizan la integral de una función ``potencial'' fijada. Se espera que cuando la dinámica es hiperbólica, la ``mayoría'' de los potenciales suficientemente regulares tiene una única medida maximizante, la cual es soportada en una órbita periódica. De hecho, Contreras (ArXiv 2013) obtuvo un resultado muy importante en esa dirección, donde el concepto de ``mayoría'' es el topológico (de Baire). En un trabajo conjunto con Yiwei Zhang (PUC-Chile), obtuvimos un resultado del mismo tipo, pero en términos de una ``mayoría'' probabilistica (prevalencia a la Hunt-Sauer-Yorke). Sin embargo, nuestro espacio de funciones es más chico que el de Contreras: necesitamos que el módulo de continuidad sea muy fuerte. Eso permite resolver el problema por aproximaciones finito-dimensionales.

Viernes 5 de diciembre, Sylvain Crovisier (CNRS-Univ. Paris-Sud) On the density of singular hyperbolic three-dimensional vector fields

We will discuss vector fields on three-dimensional manifolds.
For an open class of systems - the singular hyperbolic ones -the dynamics decomposes into finitely many transitive pieces(this includes hyperbolic basic sets and Lorenz attractors).
On the other hand it is known that some simple bifurcations- the homoclinic tangencies - may generate systems withinfinitely many disjoint attractors.
Palis has conjectured that systems exhibiting either a homoclinic tangency or satisfying the singular hyperbolicity form a dense subset of the spaceof C^1 vector fields.

We propose a proof of this conjecture. It requires to extend to local fibered flowsthe Mañé and Pujals-Sambarino's theorems about the uniform
contraction of one-dimensional dominated bundles.
This is a joint work with D. Yang.

Viernes 28 de noviembre, Fernando Alcalde (Universidad Santiago de Compostela), Grafos alteatorios repetitivos y tolerancia a la inserción.

Viernes 21 de noviembre, Juan Alonso Subgrupos de homeomorfismos del círculo con laminaciones invariantes.

Resumen: En colaboración con H. Baik, estudiamos los subrgupos de Homeo(S^1) con respecto a las laminaciones de S^1 que estos preservan. Ofreceré un pantallazo general de este tema, para luego centrme en el caso de un grupo G que preserva dos laminaciones (con hipótesis adecuadas). En este caso obtuvimos que G satisface la Alternativa de Tits: un subgrupo de G es o virtualmente soluble, o contiene un subgrupo libre no abeliano. Explicaré además, brevemente, la importancia de esta propiedad en Teoría de Grupos.
La charla será autocontenida (en particular definiré que es una laminación de S^1).

Viernes 14 de noviembre, Nikolaz Gourmelon (Univ. Bordeaux) C^r generic dynamics close to bifurcations

The vectors of Lyapunov exponents of periodic points that may appear close to homoclinic tangencies by $C^r$-perturbations form a polytope of $\mathbb{R}^n$. We show that for generic diffeomorphisms in a nearby open set of diffeomorphisms, those vectors of Lyapunov exponents are simultaneously approximated.

Viernes 7 de noviembre, Maria Castello (IIBCE) Proliferación postnatal y neurogenesis en el cerebro de los peces eléctricos

La proliferación celular y generación de nuevas neuronas (neurogénesis) son fenómenos centrales en el desarrollo y mantenimiento de la organización estructural y funcional del sistema nervioso, así como también en su plasticidad y capacidad regenerativa. Están presentes en todos los animales (tanto vertebrados como invertebrados) y por tanto son fenómenos conservados a lo largo de la evolución. Sin embargo, ambos fenómenos están modulados negativamente de modo que quedan notoriamente restringidos en vertebrados superiores (mamíferos, inclusive el hombre) tanto en la cantidad y extensión de las zonas donde ocurre proliferación celular (zonas proliferativas) como en la capacidad neurogénica de las mismas.

Por el contrario, en vertebrados inferiores, particularmente en los peces teléosteos existen múltiples zonas proliferativas en todas las regiones del encéfalo que poseen una capacidad neurogénica al menos dos órdenes de magnitud mayor que las de los mamíferos- Entre los teleósteos, el pez eléctrico de ondaApteronotuses una de las especies mejor caracterizadas, con características de proliferación y neurogénesis particulares que se han atribuido a su especialización funcional (la de poseer un sistema sensorial prevalente y particular, el sistema electrosensorial).

Nuestro grupo utiliza los peces eléctricos de pulsoGymnotus omarorum(autóctono) yMormyrus rume(africano) como modelos biológicos para estudiar el papel de la proliferación celular en la ontogenia y mantenimiento del morfotipo encefálico particular de estos peces. Hemos encontrado que: a) las regiones rombencefálicas involucradas en el procesamiento de la información electrosensorial enG. omarorumposeen un crecimiento relativamente mayor y presentan dos zonas proliferativas (ventricular y extraventricular), a diferencia de otras regiones cerebrales. b) todas las zonas proliferativas del encéfalo deG. omarorumpresentan una composición celular heterogénea, y están compuestas de al menos cuatro tipos celulares: posibles células madre y amplificadoras, células quiescentes y nuevas células que podrían diferenciarse en neuronas o células gliales. c) las nuevas células se desplazan desde las zonas proliferativas a otras localizaciones dentro de las regiones cerebrales en las que se hallan las zonas proliferativas (como ocurre en el cerebelo) o hacia otras regiones cerebrales (como ocurre en el bulbo olfatorio) dando lugar a interneuronas que se integrarían a circuitos ya existentes.

Nos preguntamos:¿es posible modelar matemáticamente estos fenómenos?¿los modelos matemáticos permiten predecir el comportamiento de las células progenitoras y derivadas?

Viernes 31 de octubre, Angel Caputti (IIBCE) Una neurona es la neurona y su circunstancia

Parafraseando a Ortega y Gasset:Una neurona es la neurona y su circunstancia .

La charla parte de la premisa que nada en neurociencia es importante sino se considera el contexto del comportamiento que se controla. Intenta realizar una primera introducción al trabajo realizado en el laboratorio, dejando puntas abiertas para desarrollos ulteriores a cargo de otros miembros del mismo.

En primer lugar me referiré a un trabajo en curso donde se estudia la performance del cerebro humano al realizar operaciones lógicas de distinta complejidad y contrastaré los tiempos de respuesta con los de neuronas únicas o circuitos simples realizando operaciones similares (10 minutos).

En segundo lugar desarrollaré una visión general de la neurona como elemento de procesamiento de información señalando algunos ejemplos de cómo una neurona puede implementar diversos tipos de operación entre sus entradas (10 minutos).

Tercero mostraré dos ejemplos de cómo las operaciones neuronales (una muy simple y otra más compleja) adquieren significado funcional cuando se consideran el conexionado y el patrón de actividad de las conexiones (30 minutos).

Por último mostraré como algunas operaciones neuronales pueden ser modificadas dependiendo de la historia de operaciones realizadas previamente y discutiré su repercusión en la operación del circuito a que pertenecen y su valor comportamental (10-15 minutos).

Viernes 24 de octubre, Nancy Guelman Problema de Burnside en superficies

Resúmen: El problema de Burnside consiste en saber si un grupo periódico (cada elemento tiene orden finito), finitamente generado es finito. Es muy poco lo que se sabe de este problema cuando el grupo actúa por homeomorfismos o diffeomorfismos en variedades.

Probaremos el resultadopara grupos de difeomorfismos $C^1$ dela esfera $S^2$,quetienen una órbita finita.

Veremos que para el resto de las superficies compactas todo grupo finitamente generado y periódico que actúa por homeomorfismos es finito (el caso del toro requiere una hipótesis mas).

Si da el tiempo, probaremos que el mismo resultado de la esfera vale para cualquier variedad compacta.

Viernes 17 de octubre, Pablo Guarino (UFF) Rigidez de mapas críticos del círculo. Transparencias.

PabloGuarino(UniversidadeFederalFluminense, Rio de Janeiro, Brasil).

Resumen:Losmapascríticos delcírculosonhomeomorfismossuaves que presentan un puntocrítico(pertenecena la fronteradel espaciode losdifeomorfismos).

LaConjetura de Rigidezpara mapascríticosconnúmerode rotaciónirracionalfue formuladaa principios de losaños ochenta en algunos trabajos deFeigenbaum,Kadanoff,Lanford,RandyShenkerentre otros,y fue demostradaenla categoríareal-analíticaporde Faria-deMelo2000,Yampolsky2003 yKhanin-Teplinsky2007.

En untrabajo en colaboración conWelingtonde Melo(IMPA),demostramosla conjetura derigidez paramapas$C^3$con número derotaciónirracional detipoacotado(arXiv:1303.3470).

Recientemente, conseguimos librarnosdela condición decombinatorialimitada,extendiendola rigideza cualquier númerode rotaciónirracional:dentro de cadaclasetopológica,el exponentedel punto críticoesel único invariantedelasclases de conjugacióndiferenciables.

Trabajo en colaboracióncon MarcoMartens(University of StonyBrook,NewYork)yWelingtonde Melo.

Viernes 03 de octubre, Rafael Potrie Representaciones de Hitchin y rigidez espectral

Resumen: Las representaciones de Hitchin son una componente conexa especial de morfismos del grupo fundamental de una superficie en PSL(d,R). Están vinculadas a propiedades geométricas de las superficies (las representaciones a PSL(2,R) corresponden a estructuras hiperbólicas, las representaciones a PSL(3,R) a estructuras proyectivas....) por lo cual su estudio se conoce a veces como Higher Teichmuller Theory en referencia a que PSL(d,R) es de rango superior. El objetivo de la charla es tratar de entender como se comportan los valores propios de las matrices involucradas y determinar condiciones para las cuales ese comportamiento fuerza que la representación factorice como una representación a PSL(2,R) (representaciones Fuchsianas). Esto es un trabajo en colaboración con Andrés Sambarino (CNRS-UPMC).

Viernes 26 de setiembre, Alvaro Rovella Puntos periódicos de mapas del anillo

Probamos que si K es un continuo esencial completamente invariante para un mapa f de grado d del anillo, y d>1, entonces f tiene todos los puntos periodicos ''que se le puedan pedir''. La interpretación de esta frase introduce a la equivalencia de Nielsen de puntos periódicos.

Viernes 19 de setiembre, Rafael Potrie Hiperbolicidad parcial y 3-variedades

Resumen: Las dinámicas parcialmente hiperbólicas surgen naturalmente en el estudio de propiedades dinàmicas robustas de difeomorfismos como pueden ser la transitividad o la ergodicidad. En dimensiòn 3, existe la esperanza de que dichas dinámicas sean clasificables desde el punto de vista topológico gracias al avanzado conocimiento de la topología y las foliaciones en 3-variedades.

El objetivo de la charla es presentar resultados a favor y en contra de la posible clasificación topológica. Particularmente explicar la construcción de nuevos ejemplos bastante diferentes en varios sentidos a los conocidos previamente. La construcción de estos ejemplos es un trabajo en curso junto con C. Bonatti y K. Parwani.

Viernes 12 de setiembre, Alejandro Kocsard (UFF, Rio), Skew products sobre sistemas hiperbólicos

Viernes 5 de setiembre, Andres Sambarino (IMJ-Paris), Representaciones del pi_1 de superficies, valores propios y entropía

Sea $\Sigma$ una superficie hiperbólica cerrada. La componente de Hitchin del grupo de matrices $\textrm{SL}(d,\mathbb{R})$ es una componente conexa del espacio de representaciones de $\pi_1\Sigma$ en $\textrm{SL}(d,\mathbb{R}),$ que contiene naturalmente el espacio de Teichmuller de la superficie.

La entropía de una tal representación, es un invariante análogo a la dimensión de Hausdorff del conjunto limite de un grupo que actúa en algo negativamente curvado.

Un programa general es caracterizar las representaciones donde la entropía es critica. El objetivo de la charla es discutir algunos resultados en esta dirección obtenidos en colaboración con Rafael Potrie.
La charla sera autocontenida y enfocada a un publico general.

Viernes 29 de agosto: Pierre Guiraud (Cimfav, U. de Valparaiso, Chile) On the asymptotic properties of piecewise contracting maps

We study the asymptotic dynamics of maps which are piecewise contracting on a compact space. These maps are Lipschitz continuous, with Lipschitz constant smaller than one, when restricted to any piece of a finite and dense union of disjoint open pieces. We focus on the topological and the dynamical properties of the (global) attractor of the orbits that remain in this union. As a starting point, we show that the attractor consists of a finite set of periodic points when it does not intersect the boundary of a contraction piece, which complements similar results proved for more specific classes of piecewise contracting maps. Then, we explore the case where the attractor intersects these boundaries by providing examples that show the rich phenomenology of these systems. Due to the discontinuities, the asymptotic behaviour is not always properly represented by the dynamics in the attractor. Hence, we introduce generalized orbits to describe the asymptotic dynamics and its recurrence and transitivity properties. Our examples include transitive and recurrent attractors, that are either finite, countable, or a disjoint union of a Cantor set and a countable set. We also show that the attractor of a piecewise contracting map is usually a Lebesgue measure-zero set, and we give conditions ensuring that it is totally disconnected. Finally, we provide an example of piecewise contracting map with positive topological entropy and whose attractor is an interval. This is a joint work with E. Catsigeras, A. Meyroneinc and E. Ugalde.

Viernes 22 de agosto, Ezequiel Maderna, Configuraciones genéricas de Euler-Moulton.

En un artículo de 1910 publicado en el Annals of Mathematics R. Moulton generalizó un teorema debido a Euler sobre el problema colineal de tres cuerpos, al caso general de n cuerpos. Más precisamente, Euler encontró que para cada ordenamiento de las masas en tres posiciones diferentes sobre una recta, hay una única forma (es decir proporciones de las distancias entre ellos) con la propiedad de admitir un movimiento homotético al estar sometidas a fuerzas de atracción gravitatorias newtonianas. La proporción entre dos de las tres distancias resulta ser la única raíz positiva de un polinomio de grado 5 cuyos coeficientes son lineales en los valores de las tres masas. La prueba de Moulton da la existencia de una única configuración, módulo semejanzas, de n masas puntuales con esta propiedad (también estudia en el mismo trabajo el problema inverso, a saber, si dada una configuración es posible elegir los valores de las masas para que admita soluciones homotéticas, pero no abordaremos este punto).

Mostraremos de manera muy simple, utilizando un método conocido propuesto hace ya unos años por Yoccoz, y utilizando también el teorema de los círculos de Gershgorin (el que enseñamos en los cursos de álgebra lineal) el teorema de Moulton que asegura que existen n!/2 configuraciones centrales colineales módulo semejanza, cualquiera sea el valor de las masas positivas. Más aún, utilizando la analiticidad real del potencial newtoniano, y el teorema original de Euler para tres cuerpos, probaremos que dicho potencial es genéricamente una función de Morse; es decir que al normalizar la homogeneidad del problema, nos encontramos con que, para un abierto y denso de valores de las masas, el potencial tiene exactamente n!/2 valores críticos correspondientes a puntos críticos no degenerados.

El resultado implica en particular que para masas genéricas hay una única configuración central colineal mínima, y si el tiempo lo permite explicaremos cómo se puede interpretar esto en términos de unicidad de soluciones globales para la ecuación de Hamilton-Jacobi crítica de este problema.

Este trabajo es en colaboración con nuestro amigo Renato Iturriaga (CIMAT)
http://arxiv.org/abs/1406.6887

Viernes 8 de agosto, Isabelle Liousse (Universite de Lille 1) Dynamics and distortion in groups of affine interval exchanges.

Abstract :In 2009, C. Novak proved that the group of all interval exchanges does not contain distortion elements. It is still an open question if this holds for the largest group of all affine interval exchanges. I will explain a joint result with H. HMILI : The Thompson group V (i.e. consisting of all dyadic affine interval exchanges) does not contain distortion elements. This theorem is a consequence of some dynamical properties of dyadic affine interval exchanges.

Viernes 1 de agosto, Javier Correa (IMPA),Aportes a la conjetura de estabilidad en skew-products.

Resumen: La conjetura de Palis-Smale dice que para difeomorfismos, los sistemas estables son los hiperbólicos. Tal conjetura fue probada por Mañe en la topología C^1 y continua abierta en la topologia C^r. Podemos abordar tal problema fortaleciendo la noción de estabilidad, esto es pedir regularidad a la variación de la conjugación según la perturbación. De esta idea surgen los conceptos de estabilidad absoluta (regularidad Lipschitz) y estabilidad infinitesimal (regularidad C^1). Robbin, Franks, Guckenheimer y Mañe en diversos trabajos probaron que ambos conceptos son equivalentes a ser hiperbólico. Trabajaremos con los Skew-Products que preservan la orientación de las fibras que son unidimensionales. Probaremos que si hay estabilidad absoluta o infinitesimal respecto a la curva de perturbaciones inducida por la traslación uniforme entonces tenemos hiperbolicidad. Decimos que un sistema es alpha-absolutamente estable si la regularidad de la variación de la conjugación según la perturbación es Hölder con exponente alpha. Probaremos que si un skew-product es alpha-absolutamente estable según la traslación uniforme con alpha mayor a 1/2 entonces el sistema es hiperbólico. Concluiremos la charla viendo una familia de ejemplos alpha-absolutamente estables según la traslación uniforme que no son hiperbólicos con alpha arbitrariamente cerca de 1/2.

Viernes 25 de julio, Cristina Lizana (Universidad de los Andes, Venezuela), Contribuciones a la teoría ergódica de mapas robustamente transitivos

Resumen:
Daremos algunas propiedades ergodicas de
difeomorfismos locales robustamente transitivos. Mostraremos
que genericamente dentro del mundo de los difeomorfismos locales
robustamente transitivos, estos mapas admitem um subconjunto residual
de puntos con pre-orbita densa. Si ademas de eso, agregamos la hipótesis
de no tener splitting en forma robusta, entonces genericamente
eles admiten una cantidad no numerable de medidas invariantes ergódicas,
expansoras con
soporte total y exhibiendo decaimiento de correlaciones exponencial.
Presentaremos una clase importante de ejemplos.
Este trabajo es en conjunto con Vilton Pinheiro y Paulo Varandas.

Minicurso de Armengol Gasull del Lunes 21 de Julio al Jueves 24 de julio.

parte I: Aplicaciones globalmente periódicas
parte II: Ecuaciones diferenciales de Abel y problema XVI de Hilbert

Viernes 27 de Junio, Pablo Lessa, Crecimiento y Propiedad Liouville en Variedades Aleatorias Estacionarias

Resumen:

Introducimos el concepto de variedad aleatoria estacionaria que es una noción análoga a la de grafo aleatorio estacionario estudidada por Benjamini y Curien (2012). Los ejemplos básicos son: Las variedades con grupo de isometría transitivo, variedades con cociente compacto, y hojas genéricas (en el sentido de Garnett) de foliaciones compactas.

Desarrollamos las propiedades básicas de la entropía asintótica para esta noción en forma análoga a la teoría de entropía de Avez para grupos finitamente generados. Una consecuencia es que una variedad estacionaria con crecimiento de volumen subexponcial es casi seguramente Liouville. Esto incluye teoremas anteriores debidos a Avez (1978) y Varopoulos (1986) para variedades con grupo de isometría transitivo y variedades con cociente compacto respectivamente, y un resultado para hojas genéricas de foliaciones anunciado por Kaimanovich. También obtenemos una generalización (e.g. a hojas de foliaciones) de un resultado de Karlsson y Ledrappier para variedades con cociente compacto (2007).

Si el tiempo lo permite, hablaremos brevemente del movimiento Browniano sobre variedades aleatorias y de cómo pueden verse el resultado de Ghys (1996) para foliaciones por superficies en este contexto.

Viernes 13 de Junio, Pablo Lessa, Entropía de caminatas aleatorias, crecimiento y propiedad de Liouville.

Resumen:

Daremos una introducción a la teoría de entropía de caminatas aleatorias. La idea básica es que el comportamiento asintótico de una caminata al azar se relaciona con el tamaño del espacio sobre el cual se camina.

En el contexto de espacios discretos discutiremos viejos resultados debidos a Blackwell, Choquet y Deny, y Avez. Luego hablaremos de la idea de Furstenberg (luego profesionalizada por Lyons y Sullivan) sobre discretización de caminatas continuas. Discutiremos también algunos vai-venes más recientes entre los casos discretos y continuous. Y llegaremos finalmente, si el tiempo lo permite, a evitar completamente hablar de los resultados de la tesis del expositor.

Viernes 30 de mayo y 6 de junio, Martín Sambarino: Accesibilidad y estabilidad ergódica

Resumen: Daremos algunos resultados sobre accesibilidad y ergodicidad
para sistemas parcialmente hiperbólicos con foliación central
bidimensional. Este es un (viejo y aún sin publicar) trabajo con
Vanderlei Horita.

Viernes 23 de mayo, Matilde Martinez Sistemas Dinámicos sin Minimales

Resumen:

Si tenemos un sistema dinámico discreto o continuo en un espacio métrico X, un subconjunto de X se dice minimal si es no vacío, cerrado, invariante y minimal con estas propiedades. Cuando X no es compacto, la existencia de minimales está garantizada en algunos espacios; por ejemplo, los sistemas dinámicos discretos en el plano y los continuos en superficies de género finito siempre tienen minimales.

En 2003 Matsumoto y Shishikura encontraron ejemplos de sistemas dinámicos sin minimales que surgen naturalmente en la vida cotidiana (de la gente como yo). Uno de ellos es el flujo horocíclico en ciertas superficies hiperbólicas no compactas. El objetivo de esta charla es contar este ejemplo, y, si da el tiempo, enunciar un resultado de dinámica en foliaciones que lo involucra.

Viernes 16 de mayo, Eleonora Catsigeras Atractores estadísticos y medidas pseudofísicas

Resumen: Revisaremos la definición de atractor estadístico de Ilyashenko agregando la condición de minimalidad alfa-observable. Demostraremos la existencia de estos atractores, y su caracterización como el mínimo soporte compacto de todas las medidas pseudo-físicas de las órbitas en su cuenca de atracción estadística. Finalmente probaremos que la variedad queda Lebesgue-c.t.p. partida en una cantidad finita de cuencas de atracción estadística de atractores de Ilyashenko alfa-observable minimales (para alfa positivo dado).

Viernes 9 de mayo, Raul Ures Mi villano favorito

RESUMEN

Viernes 25 de abril, Gabriel Fuhrmann (TU Dresden) Non-smooth saddle-node bifurcations of quasi-periodically forced interval maps

ABSTRACT:This talk deals with quasi-periodically forced interval maps of the form

f: S^1 x R \to S^1 x R

(\theta, x) |---> (\theta + \omega, g(\theta,x) ) with irrational \omega.

In particular, we focus on bifurcations of the corresponding invariant graphs of such systems, that is, bifurcations of measurable functions\psi: S^1 --> Rwhich satisfy:

\psi (\theta + \omega) = g(\theta, \psi(\theta))

We consider the case where the functionsg(\theta,\cdot)are monotonously increasing andconcave. In this situation, we provide sufficient conditions for a family of forced maps to undergo a non-smooth saddle-node bifurcation. In contrast to former results in this direction, our conditions are C^2-open in the set of families with fixed Diophantine rotation number\omega. Further, we answer a question by Herman on the topological structure of the minimal set at the bifurcation. Asimilar result has earlier been derived by Bjerkl\{o}v for the special case of a projective dynamical system associated to a quasi-periodic Schr\{o}dinger cocycle. We provide a simplified proof of an extension of his result to systems of the above form. Finally, we compute the Hausdorff dimension of the upper bounding graph of the minimal set at the bifurcation.

Miércoles 23 de abril: Marcos Dajczer (IMPA, Brasil) Entire bounded constant mean curvature Killing graphs

I will show that under certain curvature conditions of the ambient space an entire Killing graph of constant mean curvature lying inside a slab must be
a totally geodesic slice. This is a joint work with J. H. de Lira

Miercoles 23 de abril: Gil Bor (CIMAT, Mexico) Twistors proyectivos

Resumen: El espacio de pares no incidentes $(p,l)$, siendo $p$ un punto en el plano proyectivo y $l$ una línea que no pasa por $p$, es una variedad diferenciable de dimensión 4 equipada naturalmente con una métrica pseudo-riemanniana $g$ de signatura $(2,2)$. La naturalidad significa, en este caso, que la métrica $g$ es invariante por la acción estándar del grupo proyectivo $PGL(3;\mathbb R)$. Como consecuencia, existe un diccionario entre conceptos clásicos de la geometría proyectiva (incidencia, relación armónica, razón cruzada,...) y conceptos de la geometría pseudo-riemanniana (curvas nulas y geodésicas, transporte paralelo, curvatura,...). También hay un extra inesperado: la construcción twistor de An-Nurowski revela una simetría $G_2$, escondida en la geometría proyectiva clásica ($G_2$ denota el grupo de Lie excepcional simple no compacto de dimensión 14).

Viernes 11 de Abril, Sebastien Alvarez (Dijon) Gibbs measures for the foliated geodesic flow

Abstract: The main topic of this talk is ergodic theory of foliations. We will define a notion of Gibbs measure for the geodesic flow tangent to the leavesof a foliated bundle, with a negatively curved basis. We will show the the usual measures (i.e. harmonic measures, limits of large balls tangent to the leaves...) which described the ergodic behaviour of the leaves of a foliation correspond each to some potential. We will study problems of existence and uniqueness in the context of projective foliated bundles without invariant measures, and if the time allows it, we will talk about some associated problems of counting and equidistribution.

Viernes 4 de abril: Mario Shannon:

Clases de homotopía de mapas entre superficies.

El trabajo consiste en encontrar un buen representante de cada clase de homotopía de mapas con grado no nulo entre superficies compactas y orientables. Concretamente, probamos que todo mapa de grado no nulo entre superficies compactas y orientables es homotópico a un mapa que se factoriza a través de un cubrimiento ramificado. Los cubrimientos ramificados entre superficies permiten entender de una manera sencilla cómo se raciona la información topológico-combinatoria del dominio y codominio a través del mapa en cuestión, y esto en combinación con el teorema central del trabajo permite deducir varias propiedades acerca de la estructura del conjunto de clases de homotopía entre superficies. A modo de ejemplo, podemos deducir la siguiente propiedad:

Si M es una superficie cerrada y orientable de género mayor que uno, entonces no existe ningún mapa continuo de M en sí misma, cuyo grado sea distinto de 0, 1 o -1.

Viernes 28 de Marzo, Emiliano Sequeira: Densidades Conformes Defensa de Monografía.

Resumen: Sea M una variedad Riemanniana simplemente conexa de curvatura negativa. Si \Gamma es un grupo de isometrías de M que actúa con acción libre y discontinua, entonces el cociente de la acción de \Gamma en M es una variedad Riemanniana de curvatura negativa (más aún, cualquier variedad de curvatura negativa se obtiene como un tal cociente). Una variedad simplemente conexa M de curvatura negativa posee un borde, \partial M, intuitivamente, formado por los puntos finales de los rayos geodésicos en M. La acción de \Gamma puede extenderse a \partial M. La dinámica de esta acción posee un conjunto invariante, denominado el límite del grupo \Lamda_\Gamma, que también puede definirse a partir de las órbitas de puntos de M. En este trabajo se verá como construir una densidad conforme asociada a la acción de \Gamma en el borde de M. Una densidad conforme es el objeto más natural para comprender las propiedades métricas del borde de M: para cada punto de M se define una medida \mu_x en el borde de M. Estas medidas, que son todas equivalentes, tienen la siguiente propiedad de invariancia respecto de \Gamma: para cada \gamma \in \Gamma y x \in \partial M, vale que \gamma \mu_x =\mu_\gamma x. La construcción de estas medidas se debe a Patterson y Sullivan; sus aplicaciones y relaciones con las diferentes estructuras geométricas asociadas a la ación de \Gamma serán desarrolladas en este trabajo.

Viernes 21 de Marzo, Andres Sambarino (Jussieu) La métrica de Presión en la componente de Hitchin

Sea \Sigma una superficie hiperbolica cerrada y \Gamma su grupo fundamental.

La componente de Hitchin de \Gamma es una componente conexa del espacio de representaciones de \Gamma en SL(d,\R), que contiene naturalmente el espacio de Teichmuller de la superficie.

El objetivo de la charla es explicar la construcción de una mértica Riemanniana MCG(\Sigma)-invariante en la componente de Hitchin, que extiende la métrica de Weil-Petterson. Este es un trabajo en común con M. Bridgeman, R. Canary y F. Labourie.

La charla será autocontenida, enfocada a un publico general.

Viernes 14 de Marzo, Kamlesh Parwani (EIU and Nortwestern) Symmetric random walks on the line

Abstract:

We study symmetric random walks on finitely generated groups of orientation-preserving homeomorphisms of the real line. We establish an oscillation property for the induced Markov chain on the line that implies a weak form of recurrence. As a byproduct, we recover the fact that every finitely generated group of homeomorphisms of the real line is topologically conjugate to a group of (globally) Lipschitz homeomorphisms. This is joint work with B. Deroin, V. Kleptsyn, and A. Navas.

Martes 17 de diciembre, Michael Shub (CUNY) Periodic points for endomorphisms of the two-sphere.

Abstract: Is the growth rate for any C^r degree two map from the two sphere to itself at least

ln 2? In joint work with Charles Pugh we prove the theorem when the latitude foliation is preserved. We present some further results and ideas. Both the smoothness and degree

are necessary. There are counterexamples when the map is merely Lipschitz and when the topological entropy is ln 2 but the degree is 0.

Viernes 6 de diciembre, Jorge Iglesias, Ejemplos robustamente transitivos no hiperbólicos con puntos críticos

Resumen:La idea de la charla es construir un ejemplo robustamente transitivo no hiperbólico ( no es un difeomorfismo). A partir de este ejemplo intentar construir un ejemplo robustamente transitivo con persistencia de puntos críticos y al final plantear algunos problemas abiertos.

Viernes 22 de noviembre, Hyungryul Baik (Cornell): Circular-Orderability of Three-Manifold Groups and Laminations of the Circle

Resumen:We will discuss the connection between the circular-orderability of the fundamental group of a 3-manifold M and the existence of certain codimension-1 foliations on M via Thurston's universal circle theory. This theory provides a motivation to study group actions on the circle with dense invariant laminations. As an one lower dimensional example, we will give a complete characterization of Fuchsian groups in terms of its (topological) invariant laminations.

Lunes 18 de noviembre, Hyungryul Baik (Cornell): Universal circle: a 3-manifold version of the lord of the rings

Resumen: The works of Thurston and Calegari-Dunfield show that if an atoroidal 3-manifold has a taut foliation, then there is one big circle which rules all the circles at infinity of leaves of the foliation. I will give a gentle introduction to this beautiful theory and talk about some recent approaches.

Viernes 15 de noviembre:Fernando Alcalde (Universidad de Santiago de Compostela): Dinámica del flujo horociclico sobre superficies y variedades foliadas.

Resumen: El tangente unitario a una superficie hiperbólica admite dos flujos naturales, geodésico y horocíclico, que pueden combinarse en una acción del grupo afín. Según un teorema clásico, demostrado por Hedlund en 1936, el flujo horocíclico es minimal, es decir, sus órbitas son densas. La charla está motivada por un trabajo de Matilde Martínez y Alberto Verjovsky sobre la dinámica del flujo horocíclico en una situación más general donde la superficie se sustituye por una laminación por superficies hiperbólicas. El propósito inicial es dar una demostración elemental del teorema de Hedlund para adaptarla a continuación a cierto tipo de variedades foliadas. La charla se completa con dos ejemplos que ilustran el papel clave de la acción afín y la dificultad del problema. Es un trabajo en colaboración con Françoise Dal'Bo.

Viernes 15 de noviembre: Alberto Verjovsky (UNAM-Cuernavaca) La teoría de Poincaré-Denjoy para grupos abelianos compactos solenoidales

Resumen: El solenoide aritmético universal $\mathbf S$ es un grupo compacto abeliano de dimensión uno. Es una laminación uni-dimensional que tiene como estructura transversa al grupo compacto abeliano de Cantor el cual es la completación pro-finita , $\bar Z$ , de los enteros $\mathbb Z$ . Es una versión difusa del un círculo. De hecho, $\mathbf S$ fibra sobre el círculo con fibra $\bar Z$ . También $\mathbf S$ es el cociente del grupo de los adèles de los racionales $\mathbb Q$ por un grupo discreto isomorfo a $\mathbb Q$ .

En la charla se presentan algunos de los resutados del artículo en arXiv:

arXiv:1308.1853Poincaré theory for compact abelian one-dimensional solenoidal groups.ManuelCruz-López, AlbertoVerjovsky

En este artículo se define número de rotación à la Poincaré y se desarrolla la teoría de Poincaré-Denjoy. Por ejemplo si el número de rotación $\rho(f)$
(que es un elemento de $\mathbf S$ ) de un homeomorfismo $f: \mathbf S\to \mathbf S$ es monotético (irracional), es decir el subgrupo generado por $\rho(f)$ es denso, entonces $f$ es semi-conjugado a la translación por $\rho(f)$ . Si además una órbita de $f$ es densa entonces $f$ es conjugado a la translación por $\rho$ .

Viernes 1 de noviembre, Pilar Lorenzo Homeomorfismos expansivos en ambientes no compactos

Resumen:Dado que en un expansivo cada punto tiene una dinámica propia, es de esperarque la topología juegue un papel importante. En este trabajo veremos cómo secomportan los expansivos en espacios no compactos. En primer lugar veremosconstrucciones en espacios compactos, fundamentales para entender lo que sigue. Luego,nos adentraremos en espacios no compactos: Primero

hablaremos de expansividad en el sentido usual, y luego cambiaremos un

poco el foco y definiremos conceptos nuevos de expansividad positiva, clasificandolos. Para terminar, se presentarán dos construcciones importantes, una de ellas finaliza la clasificación de expansivos en supercies y la otra muestra cómo se consigue un pseudo-Anosov en el bitoro, a partir de un levantamiento ramicado de un Anosov en el toro.

Viernes 25 de octubre, Ignacio Monteverde: Acciones C^1 de grupos solubles en el círculo e intervalo

Caracterizaremos las acciones de ciertos grupos solubles por homeos en el intervalo y el círculo, a menos de semiconjugación. Luego veremos que en el caso C^1 la caracterización es más estricta. En particular, obtendremos para el círculo que una acción C^1 no puede tener minimal excepcional (un Cantor). Además, para ciertos casos, mostraremos que no puede existir ninguna acción C^1.

Viernes 18 de octubre, Matilde Martinez: Hedlund a la Ratner, Ratner a la Hedlund

Resumen: En 1936, Hedlund probó que el flujo horocíclico en el fibrado tangente unitario a una superficie hiperbólica compacta es minimal. 65 años después, este resultado pasó a ser el ejemplo cero de aplicación delteorema de Ratner que describe las clausuras de las órbitas de grupos unipotentes en espacios homogéneos. El magnífico trabajo de Ratner utiliza técnicas muy distintas a las de la prueba original del teorema de Hedlund, y mucho más poderosas.Este año, sin embargo, Fernando Alcalde y Françoise Dal'Bo probaron un caso particular del Teorema de Ratner con argumentos a la Hedlund. En esta charla quisieracontar por qué, y en el contexto de qué problemas, este aparente anacronismo es fructífero e interesante. Voy a comenzar la historia por algo que me parece, además de pertinente,muy lindo: la prueba a la Ratner del teorema de Hedlund.

Viernes 11 de octubre, Ezequiel Maderna, Ecuaciones de Hamilton-Jacobi: reducción de homotecias en sistemas homogéneos

Resumen - se considerarán potenciales homogéneos y sus correspondientes sistemas hamiltonianos naturales asociados. Mostraremos una correspondencia buinívoca entre las soluciones KAM débiles y las soluciones de otra ecuación de Hamilton-Jacobi en un espacio compacto de configuraciones normalizadas. Utilizaremos esta correspondencia, el teorema de Marchal, y argumentos topológicos para estudiar el problema de integrabilidad completa del problema de tres cuerpos en clase C1.

Viernes 4 de octubre, Valerie Berthe (CNRS, IMJ) Pisot numbers and beyond. Properties of substitutive symbolic dynamical systems under the Pisot hypothesis tend now to be well understood. They are conjectured to have pure discrete spectrum. The aim of this lecture is first to recall this conjecture (the Pisot conjecture), but also to discuss current extensions with nonalgebraic parameters to the so-called S-adic framework. We illustrate these extensions with expansions issued from multidimensional continued fraction algorithms, which yields in particular explicit symbolic codings for a.e. toral translation on the two-dimensional torus.

Viernes 27 de seitembre, Daniel Coronel, Universidad Andres Bello (Chile), Phase transitions in the quadratic family SUSPENDIDO

In this talk we show the first examples of transitive quadratic maps whose real and complex geometric pressure function have a phase transition after the first zero of the pressure function. In each of these examples the quadratic map we study has a non-recurrent critical point, so it is non-uniformly hyperbolic in a strong sense.

Viernes 20 de setiembre, Rafael Tiedra, PUC Chile, Commutator methods for the spectral analysis of time changes of horocycle flows

Resumen:We show that all time changes of the horocycle flow on compact surfacesof constant negative curvature have purely absolutely continuous spectrum in the orthocomplement of the constant functions. This provides an answerto a question of A. Katok and J.-P. Thouvenot on the spectral nature of time
changes of horocycle flows. Our proofs rely on positive commutator methods
for self-adjoint operators and the unique ergodicity of the horocycle flow.

Viernes 13 de setiembre, Juan Alonso: Acciones de grupos de Baumslag-Solitar en superficies

Resumen: Una acción del grupo BS(1,n) por homeos de una superficie S puede definirse como un par de homeos f, h de S que satisfacen la relación hfh^-1 = f^n. Estudiaremos el caso en que S es una superficie cerrada y no es la esfera. Veremos que si h es un representante pseudo-Anosov con valor propio mayor que n, entonces alguna potencia de f es la identidad.

Viernes 6 de setiembre, Mario Roldan (IMPA) Conjuntos hiperbólicos y entropía en homología

En esta charla iremos ver (discutir) cuán posible es aproximar la entropía (vista al nivel de la homología) de un difeomorfismo, por la entropía de conjuntos hiperbólicos, con la particularidad de que el índice de tales conjuntos hiperbólicos coincida con el índice al nivel de la homologia. Una herramienta es la existencia de medidas hiperbólicas. Discutiremos el caso de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos (dimensión central uno) del toro isotópicos a un Anosov.

Viernes 30 de agosto, Sylvain Bonnot (USP) Pinched laminations and holomorphic dynamics

Resumo: In holomorphic dynamics in one variable, Thurston, Douady and Hubbard introduced the powerful method of pinching a lamination in a disk, in order to create topological models for Julia sets. I will recall the basic setting and will then explain what can be done in the higher dimensional situation, concentrating on the class of complex Hénon mappings.

Viernes 9 de agosto, Diego Armentano, Complejidad del Teorema de Bezout

Resumen: El problema 17 de Steve Smale pregunta sobre la existencia de un algoritmo para encontrar un cero de un sistema de n polinomios complejos en n variables, en tiempo (promedio) polinomial en el tamaño del sistema.

El objetivo de esta charla es mostrar un algoritmo que no sólo da una respuesta parcial, sino que motiva algunas preguntas dinámicas que puedan llevar a dar una respuesta completa del problema. (La charla va a ser autocontenida.)

Viernes 2 de agosto, Pablo Lessa, Estabilidad de Reeb y regularidad de la función hoja en foliaciones

Resumen: Estudiaremos a partir de varios ejemplos la funcion que a cada punto de una foliacion le associa su hoja como variedad con punto base. Veremos quelas propiedades de regularidad de dicha funcion estan intimamente relacionadas con las propiedades de estabilidad tipo Reeb de hojas compactas y resultados relacionados.

Viernes 26 de julio, Eleonora Catsigeras Sobre los atractores estadísticos de Ilyashenko SUSPENDIDO

Resumen:

Consideramos la definición de Ilyashenko de atractor estadístico de un sistema dinámico por iteración de una transformación continua (o más en general, Borel medible) en una variedad compacta Riemanniana. Introducimos el concepto de minimalidad alfa-observable. Enunciamos y damos la ruta de demostración de los siguientes tres teoremas:

1) Dada f Borel medible, y dado cualquier alfa positivo no mayor que uno, necesariamente existe algún atractor estadístico de Ilyashenko alfa-observable minimal. Además si alfa es igual a 1, entonces el atractor estadístico es único.

2) Caracterización de cualquier atractor estadístico K como el mínimo soporte compacto de todas las medidas pseudo-físicas o SRB-like de la transformación f restringida a la cuenca de atracción estadística de K.

3) Para cualquier alfa positivo no mayor que uno, y para cualquier f Borel medible, existe una descomposición Lebesgue-c.t.p. del espacio en una cantidad finita de cuencas de atracción, dos a dos disjuntas, de atractores estadísticos en que todos, excepto a lo sumo uno, son alfa-observables minimales.

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Viernes 12 de julio, Lluis Alseda, Universidad Autónoma de Barcelona, Charla introductoria a minicurso: Temas en sistemas dinámicos discretos

MATERIAL DEL CURSO

La charla empezará con una muy breve introducción (de tipo sociológico no matemático) de los temas de investigación de los diferentes grupos de sistemas dinámicos en Barcelona y más generalmente en Catalunya.
Seguidamente se presentarán tres temas de investigación en dinámica discreta. En cada uno de ellos se plateará la motivación, resultados básicos y se intentarás presentar posibles problemas abiertos. Los tres temas a presentar son:
* Dinámica combinatoria en árboles y grafos
* Sistemas forzados cuasiperiódicamente
* Teoría de rotación e implicaciones dinámicas

Viernes 5 de julio, Rafael Potrie Cohomología dinámica: cociclos sobre base hiperbólica

Resumen: Mi objetivo es presentar (parte de) la teoría de Livsic para cociclos sobre dinámicas hiperbólicas. Independientemente de las palabras rimbombantes, el problema es simple de plantear, y contextos ya interesantes se pueden ver en ejemplos muy concretos (eso intentaré hacer).

Primero, pienso mostrar que una condición necesaria y suficiente para que un difeomorfismo de Anosov transitivo preserve una medida absolutamente continua es que el determinante de la derivada en las órbitas periódicas sea uno en el período. Una vez motivado eso, presentaré los resultados de Livsic y sus posteriores desarrollos para resolver ecuaciones cohomológicas sobre dinámicas hiperbólicas y ganancia de regularidad.

Luego, intentaré motivar el estudio de la ecuación cohomológica con cociclos tomando valores en otros grupos topológicos y en particular comentaré sobre un resultado reciente de Kalinin que resuelve el problema de Livsic para grupos de Lie. Recientemente, junto con Alejandro Kocsard (UFF, Rio) probamos una versión del teorema de Livsic para cociclos tomando valores en grupos de difeomorfismos. Intentaré mostrar los ingredientes principales de nuestro enfoque contrastándolo con enfoques previos a este problema. En particular, nuestro resultado da una prueba completa para el caso de cociclos tomando valores en el grupo de difeomorfismos de S^1 siempre que el cociclo sea suficientemente regular (alcanza C^1, pero no lo sabemos probar en el caso Holder que es el caso clásico). El ingrediente nuevo es el llamado principio de invariancia debido a Avila y Viana que tiene sus raices en resultados de Furstenberg y Ledrappier sobre cociclos lineales sobre shifts.

Viernes 28 de junio, Adriana da Luz, Defensa de Tesis de Maestría Estructura de conjuntos hiperbólicos en toros

RESUMEN.

Viernes 21 de junio, Alejandro Passeggi (UT Dresden) Homeomorfismos del toro semiconjugados a rotaciones irracionales

Resúmen:

Estudiamos la familia de homeomorfismos de T^2 semiconjugados a rotaciones

irracionales a la luz de la conjetura de Franks-Misiurewicz, en la teoría de

rotación del toro. Se encuentra una condición para que la misma se verifique

en esta familia, que generaliza el resultado de Herman sobre unicidad del

vector de rotación para productos cruzados sobre rotaciones irracionales.

Viernes 7 y 14 de junio: Matías Carrasco (U. Paris Sud) Invariantes de quasi-simetría: aplicaciones a los grupos hiperbólicos

Resumen:

Un problema importante en geometría de grupos es el de encontrar distancias preferidas en el borde de un grupo hiperbólico. La filosofía general detrás de esta pregunta es que estas distancias minimizan ciertas cantidades analíticas, que se pueden interpretar a través de análogas versiones combinatorias. El punto es que dichos objetos combinatorios son en principio más tratables. En la charla voy a mostrar como este enfoque combinatorio permite dar nuevas estimaciones de estos invariantes.

Viernes 24 de mayo: Frederic Mynard (Georgia Southern University): Sequentiality and Frechetness of finite products of topological spaces.

Abstract: Sequential spaces form an important class of topological spaces: they are the quotients of metrizable spaces. However the class is neither closed under product nor under subspace. Frechet-Urysohn (or Frechet) spaces form an important subclass: they are the sequential spaces whose every subspace is also sequential. Unfortunately, this class is not closed under product either. We examine conditions that ensure that a product of two sequential spaces is sequential, and that a product of two Frechet spaces is Frechet. Some of the results are joint work withFrancisJordan.

Miércoles 15 de mayo: Richard Canary (University of Michigan) Dynamics on Character Varieties

Abstract: It is a beautiful classical result that the mapping class group of

a closed orientable surface acts properly discontinuously on the Teichmuller

space of hyperbolic structures on the surface. One may view the mapping

class group as an index two subgroup of the group of outer automorphisms of

the fundamental group of the surface and view Teichmuller space as a component

of the space of (conjugacy classes of) representations of the surface group into

PSL(2,R).

It is natural then to search more generally for domains of discontinuity of the action of the outer

automorphism of a group on the character variety of representations of the group into some Lie

group. We will survey some results in this direction, with an emphasis on the case

when the Lie group is PSL(2,C).

Miercoles 15 de mayo: Martin Bridgeman (Boston College): Moments of the boundary hitting function for geodesic flow.

Abstract. We consider finite volume hyperbolic manifold with non-empty
totally geodesic boundary. We consider the distribution of the time for
the
geodesic flow to hit the boundary and derive a formula for the moments of
the associated random variable in terms of the orthospectrum. We show that
the the first two moments correspond to two cases of known identities for
the orthospectrum. We further obtain an explicit formula in terms of the
trilogarithm functions for the average time for the geodesic flow to hit
the boundary in the surface case, using the third moment. This is joint
work with S. P. Tan.

Viernes 10 de mayo Martín Sambarino: Coherencia Dinámica

Resumen: Para sistemas parcialmente hiperbólicos, la coherencia
dinámica es una propiedad útil e importante. Mostraremos que sistemas
que son isotópicos a Anosov a través de una isotopía a lo largo de
sistemas parcialmente hiperbólicos son siempre dinámicamente
coherentes.

Viernes 3 de mayo Adriana da Luz: Conjuntos hiperbólicos que no son premaximales

RESUMEN

Viernes 26 de abril Gabriel Nuñez: Ejemplos establemente ergódicos Defensa tesis de maestría

RESUMEN.

Viernes 19 de abril Roberto Markarian: Billares ergódicos

Los billares planos son sistemas dinámicos en que
un punto material se mueve en linea recta en una región
acotada del plano con rebotes elásticos en la frontera.
Se dara la definición de hiperbolicidad y ergodicidad
de estos sistemas, se describiran billares cuya ergodicidad
se ha demostrado anteriormente. Se explicarán
teoremas que permiten probar la ergodicidad de clases
muy ámplias de billares, sobre la base de un Teorema
de Ergodicidad local cuyas ideas básicas fueron de
Hopf y Sinai.
Trabajos conjuntos con Gianluigi del Magno (UTLisboa)

Viernes 12 de abril Ludovic Rifford (Universidad de Niza): Generic Aubry sets on surfaces.

Resumen:

Given a Tonelli Hamiltonian on a compact manifold, we can construct a compact invariant subset of the cotangent bundle enjoying variational properties which has the distinguished property of being a Lipschitz graph. This set called Aubry set captures many important features of the Hamiltonian dynamics. Fathi established a bridge between the Aubry-Mather theory and the properties of viscosity solutions and subsolutions of the critical Hamilton-Jacobi equation, thus giving rise to the weak KAM theory. A famous open problem concerning the structure of the Aubry set is the so-called Mañé conjecture, which states that, for a generic Hamiltonian, the Aubry set is a hyperbolic orbit. The aim of this talk is to present some of the ideas to prove that generic Aubry sets on surfaces are hyperbolic. This is a joint work with Alessio Figalli and Gonzalo Contreras.

Viernes 5 de abril Juliana Xavier: Cubrimientos del anillo abierto y semiconjugaciones

Resumen: Con Aldo, Jorge y el Leva estamos estudiando cubrimientos del anillo abierto $S^1 \times (0,1)$. Pregunta:¿un tal cubrimiento de grado d>1 es siempre semiconjugado a z^d en S^1?

La idea es (precisarla y) contestarla el viernes, y contar un poco más de lo que sabemos y un poco de lo que no.

Viernes 15 de marzo: Ignacio Monteverde (Regional Norte) Defensa de Tesis de Maestría AccionesC¹de algunos grupos enS¹

RESUMEN.

Viernes 8 de marzo: Rafael Potrie: Dinámica de difeomorfismos y sus perturbados.

Resumen: Voy a presentar un panorama de resultados recientes acerca de la dinámica de difeomorfismos típicos de una variedad, también llamado Dinámica genérica. El objetivo no será hacer una lista de resultados sino presentar un problema concreto importante, motivando sus dificultades y mostrar como en algunos contextos hay posibilidad de resolverlas. Si el tiempo permite mencionaré un resultado reciente junto con S. Crovisier y M.Sambarino donde describimos la geometría de ciertos atractores para difeomorfismos genéricos lo cual nos premite mostrar que bajo ciertas condiciones sólo puede haber finitos.

Viernes 1ero de Marzo: Andrés Sambarino (Universite de Paris 11-Orsay) Una geometría en el espacio de representaciones convexas..

Resumen: El objetivo de la charla es hablar sobre la métrica de Weil-Petterson en el espacio de Teichmuller y contar un resultado en colaboración con Martin Bridgeman, Richard Canary y Francois Labourie.

En este trabajo definimos una métrica en el espacio de representaciones convexas \Gamma\to PGL(d,\R) invariante por el grupo de automorfismos de \Gamma, que extiende la metrica de Weil-Petterson.

Esta ultima charla sera también autocontenida y repeterimos los conceptos necesarios de las charlas anteriores.

Viernes 22 de febrero: Andrés Sambarino La entropía reconoce las representaciones Fuchsianas

RESUMEN:

Los ejemplos de la charla anterior son ejemplos de las llamadas representaciones convexas. En esta charla definiremos estas representaciones y veremos porque las quasi-Fuchsianas, los convexos divisibles y las representaciones de Hitchin caen en esta clase.

Luego estudiaremos la entropia de una representacion convexa y veremos de que manera ésta permite caracterizar ciertas representaciones especiales llamadas Fuchsianas.

La charla será autocontenida y por tanto independiente de la anterior.

Viernes 15 de febrero: Andrés Sambarino: Ejemplos de representaciones de grupos hiperbólicos. Charla Introductoria.

Resumen (de las 3 charlas):

Sean G un grupo de Lie y Gamma el grupo fundamental de una variedad de curvatura <K<0. El objetivo es estudiar los morfismos de Gamma en G y entender como la geometria intrinseca de Gamma interactua con la del grupo G. Una clase importante de estos morfismos son las llamadas representaciones convexas.

En la primer charla motivaremos el estudio de estas representaciones a travez de varios ejemplos de una naturaleza muy diferente, entre ellos deformaciones quasi-Fuchsianas, estructuras proyectivas (estrictamente convexas) y representaciones de Hitchin.

En las 2 siguientes charlas estudiaremos un invariante asociado a un tal morfismo, llamado entropia, que juega el papel de la dimension de Hausdorff del conjunto limite de un grupo de isometrias del espacio hiperbolico. Finalmente hablaremos de un trabajo en comun con Martin Bridgeman, Dick Canary y Francois Labourie sobre la geometria de Weil-Petersson del espacio de morfismos.

Si bien las 3 charlas tratan los mismos objetos, seran independientes entre si y no estan necesariamente enfocadas a un publico dinamista.

Viernes 14 de diciembre: Ferry Kwakkel USP

Title: Quasiprojective diffeomorphisms and Teichmuller space.

Abstract: In this talk, I will introduce the notion of quasiprojective
Teichmuller space,
which can be viewed as a second order analogue of quasiconformal
Teichmuller space.
I will discuss several geometric and topological properties of this
space, in particular
how it relates to the Teichmuller metric. Ongoing work focuses on deformations
of surfaces through quasiprojective diffeomorphisms preserving
particular measured foliations.

Viernes 7 de diciembre: Juan Alonso.

Charla introductoria a la charla de Ferry Kwakkel.

Viernes 9 de noviembre Juan Rivera Letelier
http://www.mat.puc.cl/usuarios/riveraletelier/
Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile

TITULO : Expansion asintotica de aplicaciones suaves del intervalo*

RESUMEN : Demostramos que varias formas distintas de cuantificar la expasion asintotica de una aplicacion suave del intervalo, coinciden. Una de las consecuencias es una extension a las aplicaciones multimodales del resultado notable de Nowicki y Sands que caracteriza la condicion de Collet-Eckmann para aplicaciones unimodales. Combinado con un resultado de Nowicki y Przytycki, esto implica que varias condiciones naturales de hiperbolicidad no uniforme son invariantes por conjugacion topologica. Otra de las consequencias es para el formalismo termodinamico de aplicaciones suaves del intervalo: Una transicion de fase en temperatura alta existe, precisamente cuando la condicion de Collet-Eckmann topologica no se satisface.

Lunes 29 de octubre: Alfonso Artigue Flujos expansivos.

Resumen:
Trataremos dos asuntos independientes. Primero mostraremos que si un espacio métrico compacto admite un flujo expansivo al futuro entonces este es unión de finitas órbitas compactas del flujo (periódicas o singulares). Brevemente mostraremos cómo resolver las dificultades de traducir la prueba del caso discreto.
Luego mostraremos cómo construir un flujo expansivo (con singularidades) en la esfera S^3. La construcción se basa en un billar sobre un triángulo en el disco hiperbólico.

Viernes 19 de octubre> Joaquin Brum

Titulo: Mapping class group de la esfera con 4 pinchaduras.

Resumen: El mapping class group de una superficie es el grupo de las
clases de isotopía de homeomorfismos de dicha superficie en sí misma.
En esta charla se calculará este grupo para el caso de la esfera menos
4 puntos.

Viernes 12 de octubre: Welington Cordeiro, de la UFRJ

On bi-lyapunov stable homoclinic classes.

Abstract. Vamos a hablar sobre clases homoclínicas bi-lyapunov estables C1-genéricas. Mostraremos que si tales clases son homogeneas entonces no
puede tener un autovalor-débil. Usando esto llegaremos a que si f es C1-genérico y tiene una clase homoclínica bi-lyapunov estable con o especificación,
o shadowing, o limit shadowing entonces f es Anosov. Este es un trabajo en conjunto con A. Arbieto, B. Carvalho y D. Obata.

Viernes 5 de octubre: Juliana Xavier.

Título: La misteriosa silla de índice 1

Resumen: Es una charla sobre puntos fijos de homeomorfismos del disco y sus innúmeras sorpresas.

Viernes 28 de setiembre: Juan Alonso.

Título: Acciones de Borel que preservan medida y el costo de un grupo.

Resumen: El costo es un invariante para las acciones de grupos en espacios de Borel que preservan una medida de probabilidad. Daré un pantallazo de la teoría del costo, con énfasis en la explicación de las definiciones. Discutiré también los resultados principales y algunos problemas abiertos.

Viernes 7 de setiembre 2012, Eleonora Catsigeras (IMERL) Fórmula de Pesin para difeos C1 con splitting dominado

(trabajo con M. Cerminara y H. Enrich)

Resumen:

Consideramos f difeo C1 (no necesariamente C1 más Hölder) con splitting
dominado E+F. Caracterizamos un conjunto no vacío de medidas
invariantes para las cuales
la entropía métrica está acotada por abajo por la integral de la suma
de los exponentes
de Lyapunov en el subfibrado dominante F.

En el caso particular que los exponentes en F sean no negativos e
incluya a todos los
no negativos el resultado implica la Fórmula de Pesin para la Entropía,
aún cuando las medidas condicionadas inestables no son absolutamente continuas.

Viernes 31 de agosto 2012, Juan Alonso (CMAT) Factores libres en medida.

Resumen:

En esta charla introduciré el concepto de factor libre en medida de un grupo, discutiendo su relevancia y algunos resultados. Este concepto está comprendido en la teoría de las acciones de grupos en espacios de medida (por transformaciones que preservan la medida). Informalmente, los factores libres en medida son subgrupos que generalizan a los factores libres (factores con respecto al producto libre, que también definiré), y se comportan de un modo similar a éstos con respecto a las acciones mencionadas. Definiré también la equivalencia en medida entre grupos, que es una de las equivalencias fundamentales en la teoría ergódica de grupos, y discutiré como los factores libres en medida son una herramienta para estudiar la equivalencia de ciertos grupos. Luego consideraré el problema de encontrar factores libres en medida. Veremos los resultados conocidos para el caso de subgrupos cíclicos de grupos libres.

Viernes 25 de agosto 2012, Keith Burns, Northwestern University.

Conjugate points and radial noninjectivity of the exponential map

Abstract

Two points $p$ and $q$ in a Riemannian manifold $M$ are {\em conjugate} if
there is a vector $v \in T_pM$ such that $\exp_p(v) = q$ and the
derivative of $\exp_p$ is singular at $v$. It has long been known that if
$D\exp_p$ is singular at $v$, then $\exp_p$ is {\em locally noninjective
at $v$}. This means that any neighbourhood of $v$ in $T_pM$ contains
vectors $v'$ and $v''$ such that $\exp_p(v') = \exp_p(v'')$. Proofs were
given by Littauer and Morse in the real analytic case and Savage in the
smooth case. Warner extended the results to a general class of maps that
includes Riemannian and Finslerian exponential maps.

Schmidt and I have sharpened this classical result by showing that the
noninjectivity of $\exp_p$ in the neighbourhood of a singularity at $v$
can be observed along the ray $\mathbb{R}^+v$. Thus if $D\exp_p$ is
singular at $v$, then any neighbourhood of $v$ in $T_pM$ contains vectors
$v'$ and $v''$ such that $\exp_p(v') = \exp_p(v'')$ {\em and $v'$ is a
multiple of $v$}. We call this property {\em radial noninjectivity}.

We have so far made two applications of radial noninjectivity. The first
is to the study of a conjectured characterization of the compact rank one
symmetric spaces (CROSSes). Lafont and Schmidt showed that all CROSSes
have the property that if $p$ and $q$ are distinct points whose distance
is less than the diameter, then it is possible to find two points $b_1$
and $b_2$ (distinct from $p$ and $q$) with the property that every
geodesic from $p$ to $q$ passes through $b_1$ or $b_2$. They conjectured
in the same paper that this property holds only for CROSSes. Schmidt and I
cannot prove this conjecture, but we have reduced it to the well known
Blaschke conjecture that the CROSSes are the only manifolds in which the
diameter is equal to the injectivity radius.

Our second application of radial noninjectivity is to show that a null
homotopic closed geodesic in a compact Riemannian manifold must have a
{\em proper chord}. A proper chord is a geodesic segment that joins two
distinct points on the closed geodesic and passes through points not on
the closed geodesic. As a corollary to this result, we are able to show
that the projective plane with constant curvature is the only compact
Riemannian surface containing a closed geodesic with no proper chords. It
is conjectured that the analogous result holds in higher dimensions.

Viernes 3 de agosto 2012, Juliana Xavier MINIMALES EN SUPERFICIES.

Clasificamos todos los conjuntos minimales para homeomorfismos de superficies hiperbólicas cerradas y orientables. Es un trabajo en equipo con el Rata (Alejandro Passeggi)

Viernes 20 de julio 2012 Jiagang Yang, de la Universidad Federal Fluminense Diffeomorphisms with mostly contracting center.

Abstract:
This talk contains several joint works with M. Viana.

The notion of contracting center means, roughly, that all Lyapunov exponents
along the center direction are negative. It was introduced by Bonatti, Viana to
ensure the existence and finiteness of physical measures.

In this talk, I will briefly recall the history of the study of diffeomorphisms with mostly contracting center, and show the recent developments of this theory. As applications, we explain how to look for stationary measures of random diffeomorphisms over circle, and give a mechanism for the collapse of physical measures and the explosion of basins.

Viernes 15 de junio Pablo Lessa (CMAT) TEORÍA ERGÓDICA DE ACCIONES DE GRUPOS..

Nos va a contar cómo es posible estudiar teoría ergódica de acciones de grupos distintos de Z aun en en caso en que estas acciones no dejan una medida invariante, generalizando la noción de medida invariante a la de medida estacionaria. Para esto va a seguir el artículo Stationary dynamical systems de Furstenberg y Glasner (disponible en arxiv).

viernes 1 de junio Rafael Potrie (CMAT) Hiperbolicidad parcial y conjugación por hojas en 3-nilvariedades..

Resumen: Mi idea es hablar un poco sobre la conjugación por hojas de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos. Voy a explicar (unaversión libre parafraseada) de la llamada Conjetura de Pujals de clasificación de parcialmente hiperbólicos transitivos en 3-variedades. Voy a intentar también motivar el estudio de dichos difeomorfismos, contar algunos de los resultados relacionados con este problema y explicar un poco las ideas de la prueba de la conjetura mencionada para variedades con grupo fundamental nilpotente.Esto es un trabajo conjunto con A.Hammerlindl que se apoya fuertemente en sus trabajos previos para parcialmente hiperbólicos con dominación absoluta y mi trabajo de tesis donde estudie la coherencia dinámica en T^3. Mi idea es contar primero algunas motivaciones y las definiciones necesarias para después contar cuales son las dificultades y dar idea de como las tratamos.

Viernes 25 de mayo Carlos Vásquez (PUC Valparaiso) Removiendo exponentes de Lyapunov cero de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos sobre nilvariedades

Resumen:

En esta ocasión consideraremos un difeomorfismo definido como la aplicación al cuociente de un automorfismo sobre el grupo de Heisemberg 3 dimensional. El difeomorfismo obtenido es parcialmente hiperbólico. En esta charla discutiremos acerca de la posibilidad de remover exponente de Lyapunov central mediante técnicas a la Shub- Wilkinson, derivando el exponente de Lyapunov inestable y obteniedo que es un máximo local.

viernes 18 de mayo Roberto Markarian (IMERL) Estructura y evolución de atractores extraños en billares triangulares no elásticos

Resumen:

En los billares no elásticos estudiados en este trabajo en cada rebote el ángulo de salida (con la normal) es el

de entrada multiplicado por un factor constante 0 < a < 1. La dinámica discreta tiene descomposición dominada, el espacio de fase se contrae y, por tanto, aparecen atractores con medida de Lebesgue nula. Estos atractores son extraños debido a la existencia de un mecanismo de expansión.

Estudiamos la estructura de estos atractores y su evolución cuando el parámetro de contracción varía.

Para a en (0, 1/3), probamos rigurosamente que el atractor tiene la estructura de un conjunto de Cantor. Para valores más grandes la dinámica del billar da lugar a regiones inaccesibles del espacio de fases. Para a cerca de 1 el atractor se divide en tres componentes transitivas, cuyas cuencas de atracción tienen fronteras fractales.

Trabajo conjunto con Aubín Arroyo and David Sanders, UNAMéxico

Viernes 4 de mayo Diego Armentano (CMAT) Teorema Fundamental del Álgebra de Smale reconsiderado.

Resumen:
En 1981, Steve Smale inició la teoría de la complejidad de encontrar una raíz de un polinomio en una variable compleja considerando la homotopía $f_t = f - (1-t) f(0)$, para $t$ en $[0,1]$. Mediante una variante del Método de Newton la raíz $0$ en $t=0$ se continua numéricamente hasta una raíz de $f$ para $t=1$.
En esta charla vamos a repasar este algoritmo y luego lo extenderemos para el caso de sistemas polinomiales homogéneos. Para el análisis de la complejidad surgen muchas preguntas relacionadas con la dinámica y la geometría del mismo. Van a haber más preguntas que respuestas, en particular, cuándo este método puede dar una respuesta al problema 17 de la lista de problemas de Smale.

Viernes 20 de abril Alberto Verjovsky, de la Universidad Nacional Autónoma de México: Nudos salvajes que son conjuntos límites de grupos Kleinianos conformes

Resumen
Se presentan ejemplos de nudos salvajes que son el conjunto límite de un grupo
geométricamente finito que actúa conformemente en la n- esfera S^n (n=3,...9).

Viernes 13 de abril ¿Qué condiciones sobre la frontera de la mesa de un billar garantizan que el flujo del mismo esté definido para todo tiempo para toda condición inicial? Carolina Puppo.

Resumen: A priori, para definir la dinámica del billar, se necesita solamente una tangente bien

definida en el borde de la mesa. Sin embargo, daremos un ejemplo de un billar con frontera tres veces

diferenciable que tiene una condición inicial cuya trayectoria no está definida para todo tiempo. Además,

mostraremos condiciones suficientes para que ésto no suceda.

Viernes 23 de marzo de 2012, Ferrán Valdez de la Universidad Nacional Autónoma de México: Grupos de Veech de superficies planas.

Resumen: un resultado clásico de Weyl nos dice que
el flujo geodésico en un toro es o bien periódico o bien
únicamente ergódico. En esta plática introducimos el
grupo de Veech G(S)<PSL(2,R) de una superficie plana S.
Un resultado clásico de Veech nos dice que si G(S) es
de covolumen hiperbólico finito y S es compacta entonces
la dinámica de las geodésicas en S satisface un teorema tipo Weyl.
En esta plática exploraremos el tipo de grupos G(S) que
pueden aparecer si S no es una superficie compacta.

Viernes 23 de diciembre de 2011, Pablo Guarino (IMPA) Rigidity for Smooth Critical Circle Maps.

Abstract: We will discuss the rigidity problem for critical circle
maps. It has been conjectured (Lanford) that two C^3 critical circle
maps with the same irrational rotation number and the same odd degree
on the critical point are conjugate by a circle diffeomorphism. After
many contributions (de Faria-de Melo, Yampolsky, Khanin-Teplinsky) the
smooth rigidity was finally understood for analytic critical circle
maps. In this talk we will discuss how to approach the smooth case.

Viernes 25 de noviembre de 2011, Alejandro Passeggi:

Damos una clasificación para los conjuntos minimales de homeomorfismos del toro (bidimensional) que en primera instancia está dada en términos de la toplología de las componentes conexas del complemento, y las propiedades dinámicas de estas.
Luego la clasificación es considerada en el caso no-errante donde se obtienen interesantes restricciones, y finalmente se la estudia en clase de homotopía de la identidad las relaciones existentes entre la clasificación y la teoría de rotación.

Viernes 11 de noviembre 2011 (11/11/11), Richard Muñiz, Sistemas integrables y superficies de Riemann

Resumen: Mostraré cómo algunos elementos de la geometría algebraica
intervienen en el estudio de sistemas integrables. Más precisamente,
veremos que a partir de un flujo lineal en la jacobiana de una superficie
de Riemann se puede definir un par de Lax de dimensión finita. Como casos
particulares de esta construcción están, por ejemplo, el movimiento de un
cuerpo rígido y el flujo geodésico del elipsoide. Trataré de definir todos
los elementos algebraicos que utilice.

Viernes 28 de octubre 2011, Nancy Guelman El problema de Burnside

Resumen:
Si se tiene un grupo finitamente generado tal que todo elemento es de orden finito (es decir, para todo g existe n tal que g^n= Id), es verdad que el grupo es finito?
En general la respuesta es no. Daremos ejemplos donde la respuesta es afirmativa y probaremos que un grupo finitamente generado y periódico de homeomorfismos del toro T^2, que preservan una medida, es finito.

Viernes 14 de octubre 2011, Rafael PotrieHiperbolicidad parcial y foliaciones II

Resumen: Voy a continuar con la prueba de que los parcialmentehiperbólicosen T3 cuyo no-errante es toda la variedad son dinámicamente coherentes. También voy a volver sobre el concepto de casi-coherencia dinámica que vimos era abierto y cerrado en el espacio de parcialmente hiperbólicos lo cual es unahipótesisno tan fuerte, si me da el tiempo, voy a contar en grandes lineas como se prueba que si $f$ es casi-coherente e isotópico a Anosov entonces es dinámicamente coherente.

Viernes 7 de octubre 2011, Pierre Berger (CNRS-IMPA) Uniqueness of the maximal entropy measure and Hausdorff dimension of
the exceptional set of H\'enon maps

By the celebrated Benedicks-Carleson Theorem, for every $b$
sufficiently small, there exists a Lebesgue positive set of parameters
$a$ such that the H\'enon map:
\[(x,y)\mapsto (x^2+ a+y, bx)\]
is non uniformly hyperbolic. Benedicks-Young proved the existence of
an ergodic SRB; Benedicks-Viana proved that its basin has total
Lebesgue measure.

I gave a new proof of Benedicks-Carleson for which the parameters
satisfy furthermore the following property:

Every ergodic invariant probability of $f$ is either supported by an
invariant set of small Hausdorff dimension (the exceptional set), or
can be lifted to an invariant measure of a positive recurrent
countable shift. A consequence is that the maximal entropy measure is
unique, exponentially mixing and satisfies the central limit theorem.

Viernes 30 de setiembre 2011, Rafael Potrie Hiperbolicidad parcial y foliaciones

Resumen: Voy a concentrarme en difeomorfismos parcialmente hiperbolicos de 3 variedades, pero sobre todo del toro T3.

Mi idea es mencionar los trabajos de Brin Burago e Ivanov que relacionan las foliaciones transversales a ciertas direcciones y las foliaciones sin componentes de Reeb. Con eso, quiero contar la prueba del siguiente:

Teorema: Sea f: T^3 \to T^3 un difeomorfismo (fuertemente) parcialmente hiperbolico tal que su conjunto no errante es todo el toro. Entonces, es dinamicamente coherente.

Este teorema contrasta con un ejemplo reciente de Rodriguez Hertz, Rodriguez Hertz y Ures. También pienso contar algunas consecuencias del teorema y posibles extensiones a otras variedades. Por supuesto que pienso definir las palabras que aparecen en el resumen.

Viernes 16 y 23 de setiembre 2011, Eleonora Catsigeras Mapas C1 expansores en el círculo: Fórmula de Pesin para las medidas quasi-físicas

(trabajo en colaboración con Heber Enrich)

Resumen

Definimos las medidas quasi-físicas por su propiedad de observabilidad
similar a la propiedad de atracción (de las medias temporales) que exhiben las medidas físicas.
En E-C 2005 probamos que las medidas observables quasi-físicas siempre existen.

En esta presentación nos enfocamos en los mapas C1 expansores en el círculo.
Incluimos especialmente a los que no son C1 + Hölder y entre ellos, los C1 genéricos que
carecen de medidas invariantes absolutamente continuas respecto a la deLebesgue.

Demostramos el siguiente

TEOREMA Cualquier medida quasi-física para f expansor C1 en el círculo,
satisface la igualdad de Pesin para la entropía métrica.

Este resultado generaliza al caso C1, el teorema clásico que establece que
para mapas C1 + Hölder, la igualdad de Pesin se satisface si la medida invariante es absolutamente
continua (en realidad equivalente) respecto a la de Lebesgue.

En efecto en el caso C1 + Hölder es fácil probar (vía el lema de distorsión acotada) que la continuidad
absoluta de una medida implica que sea la única medida quasi-física.

Nuestro resultado muestra que, aunque no valga el lema de distorsión acotada (pues el
mapa es solo C1), y aunque no haya medidas invariantes absolutamente continuas respecto
a la de Lebesgue, lo que permite que aún así se siga cumpliendo la igualdad
de Pesin para la entropía para una medida invariante,
es en realidad la propiedad de observabilidad quasi-física de esa medida.

Miercoles 14 de setiembre 2011, Keith Burns A simple proof of Sharkovsky's theorem.

Abstract:

In the 1960s Sharkovsky proved a remarkable theorem that completely
describes which sets of numbers can be the least periods of the periodic
orbits of a continuous map of an interval to itself.
Sharkovsky's proof was elementary --- it uses nothing more than the
intermediate value property of continuous functions --- but it was far
simple. Modern versions of the proof are both elementary and simple. I
shall present the simplest proof that I know. It is a joint work with
Boris Hasselblatt.

Viernes 9 de setiembre 2011, Keith Burns, de Northwestern University The Weil Petersson geodesic flow is ergodic

Abstract

The Weil-Petersson metric is a Riemannian metric on the moduli space of a
surface. It has negative curvature, but is incomplete. Analogy with the
results of Hopf and Anosov for complete metrics of negative curvature
suggested that the geodesic flow for the Weil-Petersson metric should be
ergodic, but the incompleteness of the metric and insufficient knowledge
of its geometry delayed a proof. We now know a great deal about the
geometry of the Weil-Petersson metric, in large part due to the work of
Scott Wolpert, and ergodicity of the geodesic flow has been proved by
Burns, Masur and Wilkinson. The proof uses the results of Wolpert and the
theory of nonuniformly hyperbolic dynamical systems, in the particular
the work of Katok and Strelcyn.

Viernes 2 de setiembre 2011, Andrés Sambarino El problema de conteo en el disco hiperbólico

Resumen:

Consideramos \Gamma el grupo fundamental de una superficie hiperbolica actuando en el disco de Poincare, y consideramos z un punto de \mathbb H^2. Como \Gamma actúa de forma discontinua en \H^2 el numero de puntos de la orbita \Gamma\cdot z en la bola B(z,t) es finito para todo t>0. El objetivo de la charla es entender como crece este numero cuando t se va a infinito para el caso \Gamma convexo co-compacto. La idea es dar una prueba nueva del siguiente teorema de Patterson:

Teo(Patterson) Existen constantes positivas h y c tales que c\exp(-ht) #\{g\in\Gamma: d(z,g\cdot z)\leq t\} tiende a 1 cuando t va a infinto.

Viernes 19 de agosto 2011, Roberto Markarian Un teorema de ergodicidad local para sistemas hiperbólicos con singularidades

Probamos un criterio para la ergodicidad local de tansformaciones

simplécticas no uniformemente hiperbólicas, con singularidades.

El resultado es una extensión de la versión por

Liverani y Wojtkowski de uno de los resultados fundamentales

de Ya. G. Sinai.

Trabajo conjunto con Gianluigi del Magno

Viernes 12 de agosto, Andy Hammerlindl (IMPA) Quasi-isometry and the limits of growth

Resumen:

Consider a diffeomorphism on a compact manifold and lift to the
universal cover. Take two points on the cover. If we iterate by the
lifted diffeomorphism, do the points grow apart exponentially fast?
For certain families of manifolds, the geometry of the manifold and
its fundamental group forbid this from occuring.

This question arose naturally from studying the properties of
invariant foliations of partially hyperbolic systems. A foliation is
quasi-isometric if the distance between points measured along a leaf
is roughly proportional to the distance on the universal cover. When
the invariant foliations of a system are quasi-isometric, it tells us
much about the structure of the system, but, as a consequence of the
above question, the foliations of many families of systems are not
quasi-isometric.

Viernes 3 de junio

Título y resumen:

Estabilidad y caos en billares cilíndricos de dimensión superior
Dr. David P. Sanders
Departamento de Física, Facultad de Ciencias
Universidad Nacional Autónoma de México

Resumen:
Presentaré un resumen de trabajo reciente conjunto con Thomas Gilbert (Universidad Libre de Bruselas, Bélgica) sobre modelos tipo billar en regiones cilíndricas en dimensiones superiores a dos. Estos modelos son motivados de manera natural por modelos de partículas interactuantes. Esta clase de sistemas son altamente caóticos, aunque pueden exhibir regiones de estabilidad en el espacio fase. Para entender estas regiones estables, llevamos a cabo un estudio de clases de órbitas, las cuales vienen en familias uniparamétricas, con una dirección de estabilidad marginal. Describiré un análisis de estabilidad nolineal a través de lo cual se puede investigar la estabilidad de dichas familias.

Viernes 27 de mayo Ezequiel Maderna.

Titulo:
Invariancia por traslaciones de las soluciones KAM débiles
del problema de N cuerpos.

Resumen:

Mostraremos que todas las soluciones globales críticas de la
ecuación de Hamilton-Jacobi del problema clásico de N cuerpos
son invariantes por traslaciones de las configuraciones.
Como mostraremos, esto es una consecuencia de que las curvas
que minimizan la acción lagrangeana a tiempo libre sobre un
dominio no acotado tienen necesariamente centro de gravedad fijo.
La dinámica de estas curvas tan especiales fué estudiada en un
trabajo previo (con Adriana da Luz) en el que se probó que
corresponden a movimientos completamente parabólicos y asintóticos
a configuraciones centrales especiales.

Por otra parte, veremos que las soluciones no son en general invariantes
por la acción de otros grupos de simetrías como el grupo ortogonal.
Si el tiempo lo permite, veremos también que tampoco son necesariamente
invariantes las soluciones super-críticas mediante ejemplos que se deducen
de los resultados anteriores.

Viernes 20 de mayo Billares tipo pinball en polígonos y un problema de Erdos
sobre series aleatórias Aubin Arroyo, de la Unidad Cuernavaca, Instituto de Matemáticas, UNAM.

Resumen:
Los billares de tipo pinball son las transformaciones que se obtienen
al modificar la regla que determina las colisiones en un billar
elástico. En mesas poligonales, esta modificación convierte la
dinámica conservativa del billar elástico en una familia de
transformaciones suaves, discontinuas por pedazos, que presentan
atractores topológicos de dos tipos: curvas formadas por puntos
periódicos del mismo periodo y subconjuntos invariantes transitivos.

En esta plática hablaremos de un problema de Erdos de 1939, resuelto
por Solomyak en 1995, sobre series geométricas aleatórias y lo
relacionaremos con la estructura topológica y métrica de los
atractores que se presentan en billares de tipo Pinball en polígonos
regulares.

Esto es un trabajo en proceso, en colaboración con Roberto Markarian y
David Sanders.

Viernes 13 de mayo, Matilde Martinez, Dinámica de foliaciones que vienen de ecuaciones diferenciales holomorfas, para gente real

Voy a contar por qué para estudiar la dinámica de una foliación es sensato estudiar la dinámica del flujo geodésico foliado, y voy a contar algunos resultados sobre éste en el caso de foliaciones holomorfas. Es trabajo en conjunto con Xavier Gómez-Mont y Christian Bonatti.

Viernes 6 de Mayo, Nancy Guelman, Accion C^1 del grupo Baumslag Solitar en S^1.

Definición. Propiedades. Existencia de punto fijo global y clasificación de
la acción. Varios de estos resultados eran conocidos para acciones C^2 y aqui se
generalizan para el caso C^1.

Viernes 29 de abril, Alfonso Artigue, Flujos cinematicamente expansivos

Resumen: Definicion, ejemplos en superficies de expansividad cinematica y no
geometrica, la relacion con las funciones de Lyapunov y expansividad
cinematica robusta.

Viernes 8 de abril, Rafael Potrie Clases aisladas: Transitividad robusta y recurrencia por cadenas.

Resumen:

Después del connecting lemma para pseudo-orbitas de Bonatti y Crovisier, se sabe que para un residual de difeomorfismos, si una clase de
recurrencia por cadenas es aislada, es una clase homoclínica (en particular transitiva). Por otro lado, es sabido que si una clase de recurrencia de
un difeomorfismo genérico es aislada, entonces es robustamente aislada, lo cual plantea la siguiente pregunta:
Es necesariamente robustamente transitiva?.
Con C.Bonatti, S.Crovisier y N.Gourmelon (trabajo en preparación) construimos un ejemplo donde no es el caso. Voy a presentar un mecanismo
para que esto no ocurra, y presentare el ejemplo que es relativamente elemental y donde se podrá ver en un contexto sencillo los llamados
blenders debidos a Bonatti y Diaz.

Viernes 1 de abril, Alvaro Rovella Atractores inyectivos

Sea A un atractor de f tal que f restringida a A es un homeo. En dimensión menor que 3 se cumple que si f no tiene puntos críticos, entonces es también un homeo cuando se restringe a la cuenca inmediata de A.

A partir de aquí se deducen varios resultados sobre mapas C^1 estables en superficies.

Viernes 25 de marzo, Pablo Lessa Vectores de rotación en superficies hiperbólicas

Resumen:
La idea es mostrar una manera de capturar la rotación de las órbitas de un sistema dinámico en una superficie hiperbólica completa (no necesariamente compacta). En contraste con los vectores homológicos de rotación para homeos y los ciclos asintóticos para flujos que capturan la rotación en homología de las órbitas nosotros vamos a mostrar como capturar la rotación en homotopía. Esto es una parte del trabajo realizado en el siguiente artículo: http://arxiv.org/abs/1001.0053.

Viernes 11 de marzo 2011. Rafael Potrie Clases no aisladas en dinámica genérica. Un ejemplo no viral de dinámica salvaje.

Resumen: Intentare presentar rápidamente algunos de los problemas de la dinámica C1 genérica. En particular, la distinción entre dinámicas Tame (donde todas las clases son aisladas) y Wild (donde alguna clase no lo es) y comentar un poco sobre algunos mecanismos conocidos para tener dinámicas con clases no aisladas. Finalmente, voy a presentar un ejemplo donde la creación de nuevas clases no es una propiedad contagiosa y ver que para este tipo de clases podemos de todas maneras obtener una buena descripción de la dinámica. El ejemplo también representa un ejemplo de dinámicas genéricas sin atractores en el sentido usual pero presenta un atractor en el sentido de Milnor. (Gran parte de la charla estará basada en http://arxiv.org/abs/1003.2280)

Viernes 4 de marzo 2011: Pablo Guarino Mapas críticos de S^1

Hablaremos de homeomorfismos del círculo sin puntos periódicos, diferenciables (al menos C^3) y que presentan una cantidad finita de puntos críticos. Por un teorema de Yoccoz (de 1984) el número de rotación es el único invariante de las clases de conjugación topológica (esto sería el análogo al teorema de Denjoy para difeomorfismos). Buscando una clasificación más geométrica surge el problema de saber cuáles son los invariantes de las clases de conjugación diferenciable (esto sería el análogo al teorema de Herman para difeomorfismos con número de rotación diofantino, pero acá surgen nuevos invariantes). Al nivel de mapas analíticos, el caso de un punto crítico está resuelto (Khanin, Teplinsky, Inv. Math. 2007), pero del caso con mas puntos críticos no se sabe nada. La idea del seminario es explicar el problema, sus dificultades y contar algunas ideas de cómo atacarlo.

Martes 1 de marzo 2011: Jeroen Lamb (Imperial College) Tilings of Penrose type.

The Penrose tiling is a planar tiling with two rhombic tiles, orginally designed by R.~Penrose in the early 1970s
to illustrate the fact that local properties of tiles (matching rules) can enforce global aperiodicity. Penrose demonstrated this by a renormalization argument that involves a substitution rule. Some ten years later, N.~De Bruijn showed that Penrose's tiling can also be viewed as the projection of a slice of a 5-dimensional lattice. In this talk we present a comprehensive characterisation of all tilings of $R^n$ that, like Penrose's original example, can be constructed by De Bruijn's projection method and admit renormalization by substitution rules.
This is joint work with Edmund Harriss (Arkansas).

Viernes 17 de diciembre 2010: Juliana Xavier El teorema de punto fijo de Handel y ainda mais.

Resumen: El teorema de punto fijo de Handel es un clásico en dinámica de superficies. Establece la existencia de un punto fijo para homeomorfismos del disco abierto, siempre y cuando el homeomorfismo pueda extenderse al borde y existan órbitas que forman un ciclo orientado de enlaces al infinito. Daremos una prueba nueva y simple de este teorema, además de generalizarlo para ciclos de enlaces no orientados.

Viernes 12 de noviembre 2010: Roberto Markarian ATRACTORES EN BILLARES CONVEXOS NO ELÁSTICOS

Billares elásticos son los sistemas dinámicos inspirados en modelos
con choques en que los ángulos de entrada y salida de una partícula
son los mismos. En este trabajo se prueba que curvas invariantes en
billares elásticos se pueden transformar en atractores de billares
con ángulos de entrada y salida diferentes. Se prueba la
existencia de atractores descriptos en un teorema de
Pujals-Sambarino (Ann. of Math, 2009).

Este trabajo, conjunto con Sylvie Oliffson y Sônia Pinto (UFMG, Belo
Horizonte) avanza en una temática desarrollada con diversos
autores a partir de un trabajo con E. Pujals y M. Sambarino
(ETDS, 2010).

Viernes 8 de octubre 2010: Richard Muniz: Flujo de Ricci en superficies

Resumen: Como todos saben, el flujo de Ricci es una herramienta de mucha trascendencia en la matemática actual. No voy a ocuparme sus aspectos más delicados y profundos, que se manifiestan en dimensión tres. Esta charla será una especie de introducción al tema, y describiré cómo se comporta el flujo de Ricci cuando lo consideramos en una superficie para dar una idea de las técnicas que se utilizan para su estudio en dimensiones más altas.

Viernes 17 de setiembre 2010: Elisa Grin (Defensa Tesis Maestría) GENERICIDAD DE DIFEOMORFISMOS QUE TIENEN TODOS SUS EXPONENTES DE LYAPUNOV NULOS EN CASI TODO PUNTO

Resumen: En toda variedad de dimensión 3, existe un abierto A del conjunto formado por los difeomorfismos C1 que preservan una medida de Lebesgue, tal que genéricamente en A, los difeos tienen todos los exponentes de Lyapunov nulos casi todo punto.

Viernes 20 de agosto 2010: Eleonora Catsigeras: Igualdad de Pesin en mapas C^1 expansores del círculo.

Resumen: Probamos que para los mapas C^1 expansores del círculo, las medidas observables (que siempre existen), y en particular las medidas físicas cuando existen, verifican la igualdad de Pesin, aun siendo estas genéricamente singulares respecto a la medida de Lebesgue y aún cuando no existe medida SRB.

Viernes 6 de agosto 2010: Mario Ponce PUC Chile Cociclos por isometrias sobre dinámicas minimales.

Estudiamos skew-products por isometrías de espacios de Hilbert sobre la acción minimal de un semi-grupo. En el caso de un espacio de Hilbert de dimensión finita ($R^n$), mostramos que la existencia de órbitas acotadas implica la existencia de curvas invariantes continuas. Esto puede interpretarse en términos de soluciones continuas para ecuaciones cohomológicas torcidas. Se trata de un trabajo conjunto con A.Navas y D.Coronel.

Viernes 28 de mayo 2010: Jana Rodriguez Hertz Hechos y preguntas sobre dinámicas parcialmente hiperbólicas

Voy a intentar dar un pantallazo general del estado del arte actual en
varias direcciones de la dinámica parcialmente hiperbólica. Conjuntamente con eso, la idea es presentar muchas preguntas abiertas sobre esta temática.
La charla está dirigida a público no especializado, aunque se mencionarán
los avances más recientes.

Viernes 21 de mayo 2010: Gabriel Nuñez (Defensa de Monografía) Un nuevo criterio de Ergodicidad para medidas suaves

En este trabajo se probará el Nuevo criterio de Ergodicidad e Hiperbolididad
no uniforme desarrollado por F. Rodriguez Hertz, M. A. Rodriguez Hertz, A.
Tahzibi y R. Ures. Finalmente se usará este criterio en combinación del Lema Principal de A. Katok para dar una pueba del Teorema de Descomposición Ergódica de Pesin.

Viernes 30 de abril 2010: José Vieitez: On the dynamics of the Yoccoz-Birkeland model.

Abstract: We wish to model the behavior of the population of Microtus Epiroticus (sibling vole) on Svalbard Isles in the Arctic Ocean. It is known that there are no significant predation of these small mammals but in spite of that, the population presents high oscillations in its number albeit the lack of food is not a determinant factor for these high oscillations. Their population exhibits dramatic multiannual fluctuations, by a factor greater than 20, [YI].
The Sibling Vole (Microtus Epiroticus) is a species of vole found
through much of northern Europe. First discovered in 1960 in the Grumantbyen area, they were thought to be the Common Vole until a genetic analysis correctly identified them in 1990, [FJASY]. Since these rodents were introduced from Russia on Svalbard Isles between 1930 and
1960, [YI], these oscillations may be explained, at least in part, by
a non total adaptation to the environment, and by the pronounced seasonal fluctuation in climatic variability at Svalbard where temperatures of ¡30 degrees Celsius are common, [YI], see also [LBY].

The model we adopt is given by $$N(t) = =\int_{A_0}^{A_1}N(t-a)m(N(t-a))m_\rho(t-a)S(a)da\, $$ which was suggested by Y.Ch Yoccoz and F. Birkeland.

We analize the dynamics generated by that model.

Viernes 16 de abril 2010: Matilde Martinez Medidas asociadas a foliaciones

Resumen: Al hacer un estudio probabilístico del comportamiento de las órbitas de una ecuación diferencial ordinaria autónoma se trabaja con las medidas invariantes por el flujo. Para estudiar el comportamiento de las hojas de una foliación, esta noción admite varias generalizaciones posibles, la más importante de las cuales es la de medida armónica, que es una medida estacionaria para la difusión del calor. Recordaré cómo se definen estas
medidas y luego contaré una caracterización algebraica de las mismas para las foliaciones cuyas hojas son espacios localmente simétricos. En la charla se darán todas las definiciones y muy pocos detalles técnicos.

Jueves 8 de marzo 2010: Stefano Luzzatto (Imperial College London) Deciding the undecidable: probabilistic vs finite resolution approaches in dynamical systems

Abstract: For many structurally unstable dynamical systems it is essentially impossible to fully describe the dynamics. We discuss in this talk two possible approaches to overcome this issue. The first quite established approach is to say that certain dynamics are generic or persistent and conclude that the dynamics of interest is therefore likely to have certain properties. The other more novel approach is based on the point of view that in some situations the dynamics one sees at some finite scale is more relevant than the possibly different dynamics that the systems really exhibits at infinitely small scale. This requires a theoretical framework to formalize the meaning of having a certain dynamical properties at a finite resolution. I will present one possible such framework and an application to prove the topological mixing of the standard Henon map down to resolution 10^-5.

Viernes 19 de febrero 2010: Javier Correa (Defensa de Monografía): Homeomorfismos de Brouwer en R^2

El teorema de Traslación de Brouwer afirma que dado un homeomorfismo f del plano, que preserva
orientación y no tiene puntos fijos entonces todo punto del plano pertenece a un encaje topológico
propio L de R, disjunto de su imagen que separa f(L) de f^{-1}(L). Tales curvas son llamadas lineas
de Brouwer. Patrice Le Calvez en el 2004 probó que es posible construir una foliación del plano por
lineas de Brouwer. Esta monografía consiste en probar este último teorema, incluyendo resultados
previos para que sea autocontenida.

Viernes 18 de diciembre 2009: Francois Ledrappier: Linear Drift and entropy for covers of compact manifolds

We consider regular covers of compact Riemannian manifolds.
Asymptotic quantities are the stochastic entropy H and the linear drift
of the heat kernel L. We show that L^2 is less or equal than H.

Viernes 5 de noviembre 2009: Alfonso Artigue: Flujos expansivos singulares

La idea es estudiar flujos expansivos en superficies.
Mostraremos la fuerte relacion que estos tienen con la foliacion estable
de un difeomorfismo pseudo-Anosov. Incluiremos tambien: discusion sobre
la definicion de flujo expansivo de Komuro, flujos expansivos en el
circulo, modelos de flujos expansivos cuasiminimales en superficies con
mapas de intercambio de intervalos, aplicacion a los billares
poligonales racionales.

Viernes 14 de octubre 2009: Alvaro Rovella: Estabilidad Inversa.

Para sistemas dinámicos no invertibles existe un concepto de estabilidad inversa más débil que el de estabilidad estructural. Con Pierre Berger probamos que un Axioma A cuyas piezas básicas son atractoras o repulsoras y que cumple la transversalidad fuerte, es C^1 inverso estable.
A modo de recíproco, la transversalidad fuerte es necesaria para la estabilidad inversa de un Axioma A.
Hay también algunos ejemplos de aplicaciones

Viernes 8 de octubre 2009: Ali Tahzibi: Unicidade (e não unicidade) de Medidas de máxima entropia para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos

Resume: Consideramos difeomorfismos parcialmente hiperbólicos em dimensão três com folheação central compacta. Neste contexto provamos que, para qualquer f com propriedade de acessibilidade e coerencia dinamica uma das seguintes alternativas ocorre:

1. Existe uma única medida, m, que maximiza entropia e o expoente central desta medida é zero. Neste caso (f, m) é Bernoulli,
ou
2. Existem k (> 1) medidas ergódicas que maximizam entropia e os expoente central delas não é zero. Neste caso (f, m) é uma extensão finita de Bernoulli para qualquer m que maximiza entropia.

Em particular mostramos a existência de sistemas robustamente mixing que tem mais de uma medida de máxima entropia.
Este é um trabalho conjunto com F. R. Hertz, M. A. R. Hertz e R. Ures.

Viernes 30 de setiembre 2009: Pablo Lessa: Teoremas ergódicos geodésicos

El objetivo de la charla es hablar de ciertos teoremas ergódicos cuya conclusión es del tipo casi siempre, la sucesión {x_n} se mantiene cerca de una geodésica.

El origen de este tipo de teoremas se dió en 1989, cuando V.Kaimanovic reformuló (la versión uni-direccional de) el Teorema de Oseledets como una afirmación de este tipo.

En 1999 A.Karlsson y G.Margulis probaron un teorema ergódico con el mismo tipo de conclusión, pero que refiere a las óribitas de cierto sistema se semicontracciones. En el trabajo hicieron 2 aportes que considero notorios: uno geométrico, y el otro de tipo ergódico. Estos aportes permiten obtener teoremas de este tipo en espacios métricos con cierta condición de hiperbolicidad.

Desde entonces se han aplicado estos métodos a diversos casos, principalmente a paseos al azar en grupos. Me gustaría mostrar una aplicación que obtuve a la existencia de vectores de rotación para homeos isotópicos a la identidad en variedades hiperbólicas.

Viernes 22 de setiembre 2009: Eduardo Canale: Grafos Sincronizates

Resumen: Diremos que un grafo con $ n $ nodos es sincronizante si
cierto sistema de ec dif llamado modelo de Kuramoto, tiene un único
punto de equilibrio estable salvo cambios de coordenada triviales. En
la charla me gustaría comentarles los aspectos geométricos del
problema derivados tanto de su representación física como de los
concernientes a las variedades estables e inestables.

Junto con Pablo Monzón y más recientemente con Franco Robledo, hemos
logrado caracterizar algunas familias de grafos sincronizantes, pero
aún falta mucho por hacer.

Viernes 16 de setiembre 2009: Matilde Martinez: Medidas armónicas en foliaciones

Resumen: Estudiar la dinámica topológica de una foliación es una empresa de lo más razonable, puesto que muchos de los conceptos topológicos en dinámica de flujos (o difeomorfismos) tienen una traducción inmediata al contexto de foliaciones de dimensión mayor que uno. No sucede lo mismo con la teoría ergódica, donde no es nada claro qué noción es la análoga a la de medida invariante. En esta charla voy a contar cuáles son y qué propiedades tienen las medidas a mi entender más importantes
asociadas a una foliación: las medidas armónicas, que fueron definidas por Lucy Garnett en 1980. Será una charla introductoria al tema.

Viernes 11 de setiembre 2009: Roberto Markarian: Atractores en
billares Pinball

Se dará una visión global sobre tres trabajos en colaboración
con Aubin Arroyo (UNAM, Cuernavaca), Sylvie Oliffson (UFMG, Belo Horizonte), Sônia Pinto (UFMG), Enrique Pujals(IMPA, Rio de Janeiro),
Martín Sambarino (CMAT, Montevideo), David Sanders (UNAM, C. de México).

Se trata de estudiar la dinámica de billares en que los ángulos de
entrada y salida son distintos y aparecen los tres tipos de atractores
estudiados por Pujals y Sambarino (Annals_of_Math_2009).

Viernes 21 de agosto 2009: Vaughn Climenhaga de la universidad Penn State: Bowen's equation and multifractal analysis

Abstgract: The classical version of Bowen's equation ($P(-t \log |f'|) = 0$) relates a thermodynamic quantity (the topological pressure) and a dimensional quantity (the Hausdorff dimension of a conformal repeller). Further relationships between the thermodynamic formalism and dimension theory occur in multifractal analysis, which characterises dynamical systems and
invariant measures in terms of asymptotic scaling quantities which vary from point to point. However, most results have been obtained in an ad hoc manner, and are only valid for specific classes of systems. We show that certain relationships hold even in the most general setting, and examine what requirements a system must satisfy in order for the full analysis to be possible.

Viernes 12 de junio: Ali Tahzibi, profesor visitante del IMERL Sobre ergodicidade e unicidade de medidas SRB

Resumo: Introduziremos classes homoclinicas ergodicas e assim descrevemos as componentes ergodicas de medidas SRB.

Para difeomorfismos transitivos de superficie demonstramos que no maximo existe uma medida SRB.

Este é um resultado em colaboraçao com F.R. Hertz, J.R. Hertz e R. Ures.

Viernes 29 de mayo. Adriana da Luz.

Titulo: Minimizantes a tiempo libre en el problema newtoniano de N cuerpos

Resumen: De acuerdo con la formulación hamiltoniana del problema newtoniano de N cuerpos, los movimientos posibles son aquellos que minimizan localmente la acción lagrangiana. Les voy a contar sobre un tipo muy particular de movimientos de este problema, que a demás satisfacen una propiedad de minimización total. Mas precisamente, las minimizantes a tiempo libre son curvas que minimizan la acción lagrangiana entre dos puntos cualquiera y sin ninguna restricción de tiempo para las variaciones. Probamos que estos movimientos son completamente parabólicos y asintóticos a una configuración central. Mas aun, probamos que la solución homotética parabólica por la configuración limite es también una minimizante a tiempo libre. Como corolario y haciendo uso del teorema de Marshal (que dice que las minimizantes no pueden tener colisiones) probamos ademas que no existen minimizantes a tiempo libre definidas en R. Estos resultados son un trabajen conjunto con Ezequiel Maderna.

Miercoles 22, Viernes 24 y Lunes 27. Minicurso de Pierre Berger: Structural Stability in dynamical systems and singularity theory.

The course begin by showing some analogies between singularity theory
and dynamical systems around the question of structural stability
(Whitney-Thom-Mather vs Smale-Palis). Then, I will explain how to fit
together both formalisms in order to get a general theorem about
structural stability of attractor-repelor endomorphisms with
singularities.

Viernes 17 de abril hablara Pierre Berger del IHES (Paris) que hablara de: Abundance of one dimensional non uniformly hyperbolic attractors for surface dynamics.

Abstract:

We present a (new) proof of the existence of a non uniformly
hyperbolic attractor for a positive set of parameters $a$ in the
family of endomorphisms:
\[(x,y)\mapsto (x2+a+2y,0)+B(x,y)\]
where $B$ is any fixed $C^2$ small function. For $B=0$, this is the
Jackoson theorem. For $B=b.(0,x)$, we get the Benedicts-Carleson
theorem for the Henon map.

The proof is done thanks to analytical and probabilistic tools of
(B-C) in the geometric and combinatorial formalism of Yoccoz puzzles
generalised in a very algebraic way (pseudo-semi-group). These
theorems are notably generalised to the $C^2$-case and to the
endomorphisms. The theorem is an answer to question of
Pesin-Yurchenko réaction-diffusion EDPs in applied mathematics.

The article is avaible on arxiv.

Viernes 4 de abril, Rafael Potrie, Dinamica generica y estabilidad lyapunov.

Resumen: La idea es contar un poco sobre lo que se sabe de dinamica C1 generica en particular enfocandome en el estudio de clases homoclinicas. Voy a contar un poco sobre como aparecen ahi naturalmente las clases estables lyapunov y la necesidad de estudiarlas. Voy a presentar unos resultados sobre la estructura de estas clases y en particular centrarme en el estudio de clases que son estables lyapunov a futuro y a pasado (p.ej. las clases homoclinicas que tienen interior no vacio). Como consecuencia de los resultados que voy a contar sale como resultado que en superficies si hay una clase homoclinica que es estable lyapunov para futuro y pasado entonces el difeomorfismo es transitivo y en dimension tres se deduce que la clase tiene que tener interior no vacio.
El trabajo lo pueden encontrar en http://arxiv.org/abs/0903.4090

Viernes 27 de Marzo Roberto Markarian, Bifurcaciones de atractores periódicos y caóticos en billares no elásticos

Estudiamos la dinámica de billares con una regla de colisión modificada: el ángulo

de salida (S) es más pequeño que el de entrada (E), S = a A, a entre cero y uno.

Estos billares van desde una transformación unidimensional cuando a = 0, al billar

elático clásico cuando a = 1. Entre esos extremos la dinámica es disipativa y da lugar a

atractores de diversos tipos.

Motivados en un trabajo reciente deMarkarian, Pujalsy Sambarino

-en que se prueba que existe descomposición dominada para diversas

transformaciones de billar en mesas con bordes formados por curvas

focalizadoras- estudiamos numericamente y caracterizamos las bifurcaciones

de los atractores que aparecen al variar el parámetro de contracción a.

Trabajo conjunto con Aubin Arroyo y David P. Sanders (UNAMéxico)

Viernes 20 de marzo, Eleonora Catsigeras: Dinámica de redes neuronales marca pasos homogéneas y no homogéneas.

Resumen: La dinámica se modela como un flujo en el toro n-dimensional
con discontinuidades en una sección de Poincaré, discretizado es una
transformación discontinua de un espacio métrico compacto (n-1)
dimensional que (es unión de variedades compactas n-1 dimensionales,
no necesariamente disjuntas dos a dos) y exhibe una cantidad finita de
piezas de continuidad.
En las redes homogéneas (todas las neuronas iguales aunque las
discontinuidades sean todas diferentes) demostramos que si n es
suficientemente grande en relación con el máximo salto de
discontinuidad, entonces ´para casi todo estado inicial el ómega
límite es una órbita periódica. En las redes no homogéneas (las
neuronas no todas iguales) si son inhibitorias (las discontinuidades),
o si son excitatorias (las discontinuidades) demostramos el mismo
resultado. En las redes no homogéneas combinadas (las discontinuidades
son algunas inhibitorias y otras excitatorias) el problema está
abierto.

Viernes 13 de marzo, Carlos Vasquez de la PUC de Valparaiso: Sobre la existencia generica de medidas fisicas para difeomorfismos parcialmente hiperbolicos.

Resumen: Mostraremos que para un subconjunto $C^r$-abierto, $r\geq 2$, y $C^1$-denso de difeomorfismos parcialmente hiperbolicos con foliacion inestable minimal existe una u-medida con algun exponente de Lyapunov central no nulo.

En el caso especial en que el subfibrado central es de dimension 1, obtenemos que para un subconjunto abierto $C^r$ y $C^1$-denso de difeomorfismos parcialmente hiperbolicos con foliacion inestable minimal existe una unica medida hiperbolica y fisica.

Viernes 12 de diciembre Albert Fathi, de la ENS de Lyon. Denjoy-Schwartz & Hamilton-Jacobi

This lecture surveys the strong restrictions put by the Denjoy theory on Aubry sets , critical subsolutions & solutions of the Hamilton-Jacobi Equation on a surface.

Viernes 31 de octubre Ezequiel Maderna: Dinámica de las minimizantes absolutas en el problema clásico de N cuerpos

En sus ultimos trabajos Ricardo Mañé inicio el estudio de la dinamica de las extremales de un sistema lagrangeano que minimizan la accion a tiempo libre. Esto significa que cualquier segmento de dicha extremal debe tener accion menor o iguala la de cualquier otra curva que ligue los extremos de ese segmento (a diferencia del esquema variacional clasico en que la accion se compara con la de curvas que ligan los extremos del segmento en el mismo tiempo).Luego de observar que esto es posible solamente para la accion del lagrangeano modificado L + c , para una unica constante real c que llamo valor critico del lagrangeano, probo (en el contexto de una variedad cerrada My para un lagrangeano suficientemente regular) que la dinamica de estas trayectorias es sumamente peculiar: su nivel de enrgia es c, y son asintoticas al conjunto de Mather (proyeccion de los soportes de las medidas minimizantes en TM). Probo tambien que para un lagrangeano genérico hay una unicamedida minimizante, y conjeturo que genéricamente dicha medida estaria soportada en una orbita periodica hiperbolica, problema que aun no ha sido resuelto a pesar de los importantes avances que se han hecho en esa direccion.

La teoria KAM débil recupera los resultados de Mañé, y ademas ha sido aplicada con éxito a sistemas en variedades no compactas e incluso en el caso del problema de gravitacion clasico newtoniano, en que el lagrangeano presenta singularidades (polos) y el flujo no es completo. Se obtienen de esta forma laminacionespor minimizantes absolutas para el problema newtoniano de N cuerpos, en particular debe haber al menos una que pasa por cualquier configuracion inicial de los cuerpos. En esta charla demostraré, basandome en un resultado de H. Pollard(1967)lo siguiente: Las minimizantes absolutas del problema clasico de N cuerpos son movimientos completamente parabolicos y asintoticos a movimientos homotéticos por configuraciones minimas. Esto nos conduce naturalmente a pensar en el analogo de la conjetura de Mañé en este contexto, y junto con Renato Iturriaga (CIMAT, México) hemos obtenido un primer resultad en este sentido: Genéricamente en las masas de los cuerpos, hay una unica configuracion de Euler-Moulton minima, es decir, resolvemos el problema para elcaso colineal de N cuerpos. En el caso de tres cuerpos en el plano hay una unica configuracion minima, independientemente de las masas, y es el triangulo equilatero.

Viernes 17 de Octubre Christian Bonatti de la Universidad de Bourgogne:

Titulo: Dinámica genérica sin atractores

Resumen
La nocion de atractores es fundamental para la descripcion de la dinamica.
Pero hay muchas definiciones de atractores, dependiendo del punto de vista y de las dinamicas consideradas.

La nocion de atractores topologicos, cuya cuenca es un entorno del atractor, es
muy restrictiva cuando pedimos ademas que el atractor no se pueda descomponer (transitivo o recurrente por cadenas). Asi mismo, esa definicion era
suficiente para cubrir los ejemplos conocidos de dinamicas genericas.

En un trabajo conjunto con Li Ming y Yang Dawei, nosotros contruimos un C1-abierto de difeomorfismos en dimension 3 tal que, para cualquier $r\geq 1$, los difeomorfismos Cr-genericos de esos abiertos no tienen ningun atractor
topologico transitivo ni recurrentes por cadenas.

Pero esos difeomrfismos tienen un unico casi-atractor transitivo cuya cuenca
contiene los puntos genericos.

Discutiremos la nocion de atractor, adaptandonos a esos ejemplos.

Viernes 10 de Octubre Christian Bonatti de la Universidad de Bourgogne:¨Tangencias homoclínicas robustas en la topología C^1: un mecanismo local¨

Resumen:
En los años 70, Newhouse probó que las variedades estables e inestables de un conjunto hiperbólico en superficies pueden cortarse tangencialmente y de manera C^2 robusta.
Solo recientemente, Asoaka ha mostrado un ejemplo de conjunto hiperbólico con tangencias C^1 robustas, en dimensión 3.
Con Lorenzo Díaz, exhibimos un mecanismo local creando tangencias C^1 robustas. Como consecuencia probamos que, para un difeomorfismo C^1 - genérico, una clase homoclínica que contiene puntos periódicos de índice diferente y no tiene la dinámica correspondiente, tiene tangencias robustas.

Viernes 3 de Octubre Christian Bonatti, Universidad de Burgogne: Atractores singulares con singularidades de indices distinctos

La maior diferencia entre la dinamica de los flujos y la de los difeomorfismo es
la coexistencia de singularidades y de orbitas regulares. Eso es especialmente
notable si las singularidades no son aisladas de las orbitas recorrentes.
El primer ejemplo robusto apresentando este fenomeno es el atractor de Lorenz, y
sus generalisaciones: los atractores robustos singulares.
Los atratores singulares en dimension 3 necessitan un tipo de coherencia entre
la hiperbolicidad de las partes regulares y de las singulridades. Essa
propriedad fue formalisada por Morales Pacifico Pujals en la hiperbolicidad
singular.
Para hacer la teoria en dimension mas alta, es necessario tener un panel de
ejemplos explotando las diversas posibilidades.

Presentare un ejemplo reciente, hecho con Li Ming y Yang Dawei, de un atractor
singular robusto en dimension 4, que tiene sigularidades de diferente indices.
El ejemplo es muy sensillo pero no su prueba. Tentare apresentar los pasos
principales de la prueba.
Sime queda tiempo, mostrare que atractores singulares robustos com
singulraidades de differentes indices siempre tienen ciclos heterodimensionales
y tangencias homoclinicas robustas.

Viernes 19 de Setiembre Alfonso Artigue: Flujos expansivos en superficies y billares poligonales.

Se da una caracterizacion de los flujos expansivos en superficies
compactas. Se encuentra una descomposicion en subvariedades con borde,
invariantes y casiminimales. Para cada expansivo casiminimal sin
conexiones de silla se da un modelo mediante suspesiones de intercambios
de intervalos. Finalmente se relaciona esto con la existencia de orbitas
periodicas en los billares poligonales

Martes 26 de Agosto: Tanya Yarmola. Courant Institute (New York University).

Title: Invariant Measures for Degenerate Random Perturbations of
Discrete-Time Dynamical Systems

Abstract: Random perturbations of dynamical systems is an important tool in
modeling noise and other types of uncontrolled fluctuations. In many
real-life systems, fluctuations do not occur everywhere or uniformly in
all directions; some of these situations can be modeled by {\it
localized, degenerate noise}. In this thesis (advisor: Lai-Sang Young),
we focus on random
perturbations of discrete-time dynamical systems that occur in a single
direction; we call these {\it rank one perturbations.} The aim of this
work is to study whether such perturbations lead to invariant measures
that are absolutely continuous with respect to Lebesgue measure.

This study is based on the premise that when the dynamics are rich
enough, they tend to mix the different directions after a number of
iterates. Thus barring unfortunate coincidences, one should expect even
rank one perturbations to have absolutely continuous invariant
measures. We introduce a very general condition that ensures that all
the invariant measures for the perturbed system are absolutely
continuous.

Viernes 13, 20 y 27 de Junio (a las 16horas) Matías Carrasco: Conjuntos de Julia de medida positiva:

la primera:
Explosión parabólica: control de una órbita periódica.
La explosión parabólica es el fenómeno de bifurcación que se produce al
perturbar (dentro de una familia analítica de polinomios) un polinomio
con un punto fijo parabólico. En el caso cuadrático se puede detallar de
manera bastante explícita la dependencia de la nueva órbita periódica
cercana al origen. Esto permite encontrar perturbaciones de polinomios
con discos de Siegel, que también tienen un disco de Siegel pero además
una órbita periódica arbitrariamente cerca del origen.

la segunda:
Discos de Siegel perturbados:
Mediante la utilización del método de renormalización de
Douady-Ghys-Yoccoz, se puede ver que los discos de Siegel de las
perturbaciones estudiadas en la charla anterior no se ven limitados (en
tamaño) por el ciclo periódico cercano a cero, sino que llenan
aproximadamente la mitad del área del disco sin perturbar.

la tercera:
Promoción:
El teorema de McMullen -sobre la densidad del Julia relleno en el borde
de un disco de Siegel con número de rotación de tipo acotado- y el
control del conjunto poscrítico (Inou-Shishikura), permiten mediante un
argumento de pull-back (con distorsión acotada) promover el coeficiente
1/2 (de la charla anterior) a 1. Esto permite controlar la pérdida de
área y concluir el teorema.

Viernes 27 de Junio Rafael Potrie: Clases homoclinicas genericas con interior.

Resumen:

Primero voy a hablar un poco acerca de dinámica genérica y en

particular voy a contar la idea de la prueba (bastante elemental....

la idea) de un teorema de Mañe que afirma que en superficies hay un

residual de difeomorfismos que o bien son hiperbólicos o bien tienen

infinitos pozos y/o fuentes y un poco sobre las extensiones a

dimensión 3 y dps a cualquier dimensión por Bonatti, Diaz, Pujals y

Ures. Después voy a contar un poco sobre un trabajo medianamente

reciente de Abdenur, Bonatti y Diaz sobre clases homoclínicas

genéricas con interior en el cual conjeturan que estas deben ser toda

la variedad, algunos resultados de ellos al respecto. Para terminar

voy a contar un poco acerca de un resultado con Martin sobre este

problema (sobre todo en bajas dimensiones) contando como habria que

usar las ideas de Mañe, como no funcionan, y como solucionarlo.

En mi página hay unas notas acerca de esto.

VIERNES 20 de junio: Eleonora Catsigeras, Marcelo Cerminara y Heber Enrich:

Continuación simultánea de infinitos pozos cercanos al desdoblamiento genérico de una tangencia homoclínica cuadrática.

RESUMEN:
Probamos que los difeomorfismos f en Diff3 de Newhouse-Robinson,que presentan infinitos pozos simultáneos adecuadamente contruidos después de desdoblar una tangencia homoclínica cuadrática
de un punto silla disipativo, pueden ser perturbados a lo largo de una variedad infinito dimensional en Diff3
tal que los infinitos pozos persisten simultáneamente.

Por otra parte, si f es perturbado a lo largo de una familia monoparamétrica que desdobla genéricamente
las tangencias homoclínicas cuadráticas, entonces demostramos que a los sumo una cantidad finita de esos pozos tienen continuación.

El Viernes 6y 13 de Junio Maria Alejandra Rodriguez Hertz

Charla 2: Conjetura de Pugh y Shub sobre ergodicidad estable

Resumen: Voy a contar un poco sobre la conjetura de Pugh y Shub sobre ergodicidad estable:
en qué consiste, un poco de historia, y los avances más recientes.
En particular, voy a contar lo que probamos recientemente con Federico, Alí y el Gallego:
que C^1 densamente entre los parcialmente hiperbólicos con dimension central bidimensional
encontramos difeomorfismos establemente ergódicos.

Charla 1 :Nuevos criterios de ergodicidad e hiperbolicidad no uniforme para medidas suaves..

Resumen: En esta charla se presentará un nuevo criterio, que hemos encontrado junto con Federico,
Ali y el Gallego, para establecer ergodicidad e hiperbolicidad no uniforme para medidas suaves.
Este criterio establece que todo difeomorfismo es ergódico y no uniformemente hiperbólico sobre la clase
homoclínica de Pesin asociada a un punto periodico hiperbólico.
Usando estas técnicas se puede demostrar,por ejemplo, que todo difeomorfismo transitivo sobre una superficie tiene a lo sumo una medida SRB. Este criterio tambien es usado para resolver la conjetura de Pugh-Shub en la topología C^1 para espacio central de dimension 2, que será el contenido de la charla que viene.

Viernes 30 de mayo Pierre Guiraud, Universidad de Valparaiso Dinámica simbólica de dos aplicaciones caóticas acopladas: desde el régimen desacoplado hasta la sincronización.

Resumen: En esta charla, se presenta un estudio de la dinámica acotada de dos aplicaciones caóticas acopladas en todo el rango de acoplamiento, desde el régimen
desacoplado donde la entropia es máxima hasta el régimen de sincronización
donde la entropia en mínima. Gracias a una formulación del problema en términos de
dinámica simbólica, se obtienen estimaciones del conjuntos de los códigos, que
describen como la dinámica esta gradualmente afectada por el aumento del acoplamiento.
Las estimaciones se traducen en acotas de la entropia topológica que decrecen con acoplamiento. La comparacion de estas acotas con la entropia calculada numericamente demuestra que aquellas describen la esencia de la transición del régimen desacoplado hacia la sincronización.

Viernes 23 de mayo Roberto Markarian Billares no conservativos: descomposición dominada

Se estudia la dinámica debillares en que el ángulo de salida es más pequeño que el de

entrada y se demuestra que en varias mesas de billar (no hiperbólicas para el caso

elástico -ambos ángulos iguales) la dinámica tiene descomposición dominada.

Trabajo con Enrique Pujals y Martín Sambarino.

Viernes 2 de Mayo: Pablo Carrasco de la Universidad de Toronto: Modelos simbólicos para
sistemas parcialmente hiperbólicos

Es bien sabido que un flujo de Anosov se obtiene como cociente de la
suspensión de un shift de tipo finito por un función Lipschitz. En
esta charla presentamos una generalización de dicha construcción para
sistemas parcialmente hiperbólicos. Dicha construcción nos permitirá
deducir propiedades dinámicas como la existencia de hojas periódicas.

Viernes 25 de abril y 2 de mayo: Alvaro Rovella: C^1 estabilidad modulo singularidades

Los resultados de estabilidad de difeomorfismos usan inevitablemente tecnicas validas solo en topologia C^1. Algunos de estos resultados fueron ya extendidos a endomorfismos sin puntos criticos, (es sabido que un mapa con puntos criticos no puede ser C^1 estable). Entonces por un lado, las tecnicas para difeos
son C^1, y por otro, si hay puntos criticos no hay C^1 estabilidad.

Proponemos pues una nueva definicion de C^1 estabilidad para mapas con puntos criticos.
Obtenemos algunas consecuencias. por ejemplo, si un endo es C^1 estable segun en este sentido, entonces el conjunto no errante es hiperbolico y no contiene puntos criticos.

Viernes 18 de abril. Isabelle Liousse de la Universidad de Lille 1.

Title . Rotation numbers for some piecewise linear (PL) circle
homeomorphisms and applications to group theory.

Abstract. In this talk, I will present a particular family of PL circle
homeomorphisms for which rotation numbers and invariant measures can be
explicitly calculated. Then, I will explain the applications of these
calculations in the study of Thompson-like groups.

Viernes 11 de abril. Alfonso Artigue: Orbitas homoclínicas asociadas a repulsores

Resumen: Un endomorfismo no invertible puede tener un punto periódico repulsor con una sucesión de preimágenes que converjan a él. Este tipo de recurrencia implica la existencia de infinitas órbitas periódicas y en hipótesis generales la presencia de un Cantor expansor. Cuando la órbita homoclínica contiene un punto crítico se produce una bifurcación que está localmente en la frontera del conjunto de los mapas con órbitas homoclinicas. Esta y otras maneras de crear órbitas homoclínicas son estudiadas en dimension uno y dos.

Viernes 23 de Noviembre. Eleonora Catsigeras:

Dinámica de mapas contractivos discontinuos a trozos que modelan redes neuronales.

1a. parte: Cómo a partir de la fisiología de una red de n neuronas conectadas por medio de sinapsis inhibitoria se llega a la dinámica por iterados de una tranformación continua a trozos en la bola n-1 dimensional.

2da. parte: Enunciado y demostración de los teoremas siguientes:

Teorema 1: Genéricamente (desde el punto de vista topológico) el sistema dinámico obtenido en la parte 1 tiene una cantidad a lo sumo finita de atractores periódicos persistentes, con períodos que pueden ser tan grandes como se quiera y con cuencas de atracción cuyas componentes conexas pueden tener diámetro tan pequeño como se desee.

Teorema 2: Al variar los parámetros del sistema, en el borde de los sistemas que presentan el comportamiento periódico descripto en el teorema 1, hay un atractor de Cantor, tal que la dinámica de f restringida a ese atractor es sensible a las condiciones iniciales (expansiva).

Viernes 12 y 19 de Octubre. Matilde Martinez. Título: Medidas asociadas a foliaciones por superficies hiperbólicas

Resumen: Definiré la noción de medida armónica asociada a una
foliación (introducida por Lucy Garnett en 1980). Es una
generalización de las medidas invariantes para flujos y de las medidas
invariantes por holonomía (que fueron introducidas por Plante, Ruelle
y Sullivan en 1976, y que también serán definidas). El objetivo de la
charla es, en el caso de foliaciones por superficies, ver que las
medidas armónicas se pueden obtener a partir de flujos de origen
geométrico, y dar ejemplos en los que este hecho ayuda a clasificarlas.

Viernes 5 de octubre, Ma. Alejandra Rodriguez Hertz de Quasi-Anosov en variedades de dimension 3

Abstract
In 1969, Hirsch posed the following problem: given a diffeomorphism
f : N -> N, and a compact invariant hyperbolic set L of
f, describe the topology of L and the dynamics of f restricted to L.
We solve the problem where L=M^3 is a closed 3-manifold: if M^3 is
orientable, then it is a connected sum of tori and handles; otherwise it
is a connected sum of tori and handles quotiented by involutions.
The dynamics of the diffeomorphisms restricted to M^3, called quasi-
Anosov diffeomorphisms, is also classified: it is the connected sum of
DA-diffeomorphisms, quotiented by commuting involutions.
(trabajo conjunto con T. Fisher)

Viernes 31 de agosto, 7 de setiembre y 14 de setiembre, Raul Ures Ergodicidad e hiperbolicidad parcial en dimensión 3

Resumen: Un difeomorfismo es parcialmente hiperbólico si preserva tres
subfibrados: dos de los mismos son hiperbólicos, uno es expandido y el otro
es contraído exponencialmente, y un tercer fibrado central que presenta un
comportamiento intermedio.
En un trabajo reciente con Jana y Federico probamos la conjetura de Pugh y
Shub para difeomorfismos conservativos parcialmente hiperbólicos con central
de dimensión uno; es decir, los difeomorfismos establemente ergódicos son
densos en los parcialmente hiperbólicos. En esa prueba hay resultados, que
explicaremos, que convierten el probar que un difeomorfismo parcialmente
hiperbólico de una variedad de dimensión 3 es ergódico en un problema de
geometría y topología. Daremos los primeros ejemplos conocidos de variedades
en que todo difeomorfismo parcialmente hiperbólico es ergódico. Además,
presentaremos conjeturas y (muchos) problemas abiertos.
Este es un trabajo conjunto con Federico y Jana Rodriguez Hertz.

Viernes 24 de Agosto. Osvaldo Ruggiero (PUC, Rio de Janeiro)

Estabilidad topológica y conjetura de geometrización de Thurston

Resumen: Asumiendo la conjetura de geometrización de Thurston para variedades de dimensión tres, probamos el siguiente resultado.

Sea M una variedadcompacta de dimensión 3, prima y atoroidal. Suponer que M admite una métrica Riemanniana(M,g) sin puntos conjugados tal que el flujo geodésico tiene una de las siguientes propriedades:

1) Expansividad

2) Estabilidad Topológica

3) Propiedad de sombreamiento.

Entonces M admite una métrica de curvatura negativa constante

El Viernes 8 y el Viernes 15 de Junio Pablo Guarino: Teorema de Densidad para Endomorfismos

Resumen:

En el año 1967 Charles Pugh obtuvo el clásico C^1 closing lemma para
difeomorfismos y como corolario el teorema de densidad para difeomorfismos:
genéricamente en Diff^1(M) los puntos periódicos son densos en el no errante.
Esto es bien conocido por todos, con Sambita y Leva estamos pensando cómo se
podría extender este resultado a los mapas C^1 de M, es decir, probar que
genéricamente en los endomorfismos de M los puntos periódicos son densos en el
no errante. La idea de la charla es contar los pocos resultados que ya se
tenían en esta dirección (mayoritariamente de Wen), y qué estamos haciendo
nosotros (qué técnicas han surgido, hasta dónde nos han llevado, etc.).

Viernes 1 de Junio habla Andrés Sambarino acerca de: Descomposición espectral de difeomorfismos C^1 genéricos

Resumen:

Desde el teorema espectral de Smale para Axioma A se busca una noción
de pieza básica para un genérico de dif^1(M). Estos conjuntos
deberán ser compactos invartiantes contenidos en \Omega(f) que
satisfacen las siguientes nociones,

- indescomponibilidad: no pueden escribirse como unión de compactos
invariantes disjuntos,

- maximalidad: no son subconjuntos propios de compactos invariantes
indescomponibles, esto garantiza la independencia de la dinámica en dos
piezas básicas distintas.

Los primeros candidatos considerados fueron las clases homoclínicas, los
conjuntos robustamente transitivos, los conjuntos débilmente
transitivos maximales, etc. La respuesta final resulta ser las clases
de recurrencia de la teoria de Conley. En esta charla explicaremos
porque y daremos (algo de) descripción de la dinámica dentro de cada
pieza.

El Viernes 11 de mayo habla Nancy Guelman. Conjuntos de Rotación y entropía

Se definira conjunto de rotación para homeomorfismos del toro T^2,
isotópicos a la identidad y se verán algunas algunas propiedades y ejemplos.
Se discutirá que relación hay entre la entropía y que el conjunto de
rotación tenga interior no vacío.

Viviane Baladi del Instituto Jussieu de Paris (http://www.math.jussieu.fr/~baladi/) Linear response formula for piecewise expanding unimodal maps.

(joint with D. Smania)
> The average R(t) of a smooth function phi
> with respect to the SRB measure mu_t of a smooth one-parameter family
> f_t of piecewise expanding interval maps
> is not always Lipschitz. We prove that if f_t is tangent to the
> topological class of f, then R(t) is differentiable at zero,
> and R'(0) coincides with a resummation
> of the (a priori divergent) series given by the
> susceptibility function from Ruelle's conjecture.
> It is the first time that a linear response formula
> is obtained in a setting where structural stability
> does not hold.

Alfonso Artigue. Flujos expansivos con singularidades en superficies

RESUMEN:

Se estudian flujos expansivos en superficies. Se caracterizan los mismos mediante los puntos de equilibrio y sus conjuntos estables e inestables. En particular se concluye que la existencia de uun flujo expansivo implica que el grupo fundamental de la superficie tiene crecimiento exponencial. Se da una aplicación a los billares poligonales.

Ezequiel Maderna: Problema newtoniano de N cuerpos colineales

RESUMEN:

Consideraremos N masas puntuales en una recta, sometidos a las fuerzas
newtonianas de atraccion gravitatoria. Veremos que hay exactamente N!
configuraciones que admiten movimientos homoteticos,
y probaremos que genericamente en las masas de los cuerpos, estas
configuraciones tienen asociadas valores de energia potencial diferentes.

José Vieitez acerca de: h-expansividad y dominancia.

Resumen.

Rafael Potrie Variedades invariantes para descomposición dominada

Resumen: Se estudia laintegrabilidad única de los fibrados invariantespara difeomorfismos C^1 en superficies que admiten descomposición dominada en toda M y cuyo no errante es toda la variedad (además de que los puntos periódicos sean hiperbólicos). Como parte de la prueba se demuestra también que estas variedades invariantes han de poseer propiedades dinámicas. Esto es parte de mi monografía.

Resumen 2da Charla: Ejemplos no hiperbolicos de difeomorfismos robustamente transitivos

La idea es presentar un ejemplo debido a Shub en T^4 que es robustamente transitivo y al mismo tiempo es robustamente no hiperbólico, en particular mostrar que no vale lo visto la charla anterior en dimensiones mayores. La técnica para probar la transitividad robusta no será la utilizada originalmente por Shub sino que será basada en un resultado de Pujals y Sambarino para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos con foliaciones densas.

Raúl Tempone Estimación del error global en ODEs y métodos adaptativos para su control

Resumen:
> A variational principle, inspired by optimal control, yields a simple
> derivation of an error representation, global error=\sum local
> error*weight, for general approximation of functions of solutions to
> ordinary differential equations. This error representation is then
> approximated by a sum of computable error indicators, to obtain a useful
> global error indicator for adaptive mesh refinements. A uniqueness
> formulation is provided for desirable error representations of adaptive
> algorithms.
> We construct an adaptive algorithm for ordinary differential equations and
> analyze its asymptotic behavior as the error tolerance parameter tends to
> zero. An adaptive algorithm, based on the error indicators and successive
> subdivision of time steps, is proven to stop with the optimal number, N,
> of steps up to a problem independent factor defined in the algorithm.

Juliana Xavier: Orbitas Periódicas de homeomorfismos de superficies

Resumen 2da charla:

Teorema: Un homeo de la esfera que preserva orientacion, no tiene puntos
errantes, y fija al menos tres puntos (y no es la identidad, quelo), tiene
infinitas orbitas periodicas
y de periodo arbitrariamente largo.

Observacion: el teorema no tiene casi hipotesis!!!

Observacion: se deducen facilisimo de este teorema cosas como que no hay
minimales en el plano multiagujereado (con al menos dos pinchaduras,
quelo), el
teorema de franks de que si un homeo del anillo fija un punto, entonces
tiene infinitas orbitas periodicas, ...

Resumen 1era charla:

Es bastante conocido que un homeo f del plano sin puntos fijos puede
cubrirse con dominios de traslacion, i.e., abiertos invariantes donde f
es conjugada a una traslacion. Resulta ser que este hecho es clave para
encontrar infinitas orbitas periodicas a homeomorfismos isotopicos a la
identidad en superficies. De hecho, para este tipo de homeomorfismos sin
puntos fijos contractibles, existe una foliacion por lineas de Brower.
Esto entra en contradiccion junto con ciertos tipos de recurrencia
inevitables bajo hipotesis conservativas, dando los teoremas que aseguran
la existencia de infinitas orbitas periodicas de periodo arbitrariamente
largo.

Esta bueno que la existencia de orbitas periodicas de periodo
arbitrariamente largo para difeos en superficies ya era conocida (
Franks y Handel), pero en realidad es un asunto topologico que no depende
para nada de la diferenciabilidad.

Conjetura de Palis en superficies Pablo Lessa, Viernes 6 de Octubre de 2006.

Daremos una demostración (debida a Martín Sambarino e independiente de 
la original dada por él y Enrique Pujals en el 2000) de la llamada 
Conjetura Debil de Palis para superficies compactas.

El resultado es que el conjunto de los difeos Morse-Smale junto con los 
difeos que poseen una Órbita Homoclínica Transversal forman
un abierto denso en la topología C1.

La demostración posee una idea geométrica muy sencilla. Pero para 
hacerla funcionar se utilizan diversos resultados clásicos de dinámica 
genérica, el concepto de Descomposición Dominada debida a Mañe, y las 
variedades invariantes que proveen el trabajo de Hirsch, Pugh, y Shub.

Recientemente se ha demostrado la conjetura en las dimensiones mayores 
(Crovisier) utilizando estas mismas ideas y otras.

Lazos y cuerdas.Miguel Parternain (En colaboracion
con Juan Alonso) Viernes 29 de setiembre de 2006

Resumen: Desde los trabajos de Goldman, Chas y Sullivan se conocen
diferentes estructuras en el espacio de curvas cerradas que describen la
forma en que dichas curvas se ubican en el espacio ambiente.
Consideraremos algunas generalizaciones de estas estructuras y algunas
aplicaciones a la topologia de las superficies.

Viernes 2 y 9 de junio de 2006: h-expansividad y Descomposición dominada José Vieitez. Resumen

Estabilidad de endomorfismos Alvaro Rovella Viernes 5 y 12 de mayo de 2006

1. definiciones de omega estabilidad y estabilidad estructural

2. resultados para difeos y conjeturas para endos: son bien conocidas
condiciones equivalentes para la C1 estabilidad para difeos.
no asi para endos. pero hay varias conjeturas.

3. algunos ejemplos que ilustran las conjeturas.
busqueda de ejemplos de mapas estructuralmente
estables que no sean expansoras o difeos.

Viernes 18 de noviembre de 2005: Bifurcacoes nao-periodicas de transformacoes do circulo. Vanderlei Horita (Departamento de Matematica, Universidade 
Estadual Paulista, UNESP)

Bifurcações não-periódicas (abundância x generecidade) e bifurcações periódicas (geometria de conjuntos limites).

Relação entre Transitividade Robusta e alguma forma de Hiperbolicidade.

Bifurcação de Hopf em famílias de Campos de Vetores Hamiltonianos Reversíveis e Equivariantes.

Perturbações Singulares Reversíveis

Grupo de Sistemas Dinámicos