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 TEORÍA ERGÓDICA

Eleonora Catsigeras

Apuntes para el curso de Maestría en Matemática.   Edición corregida: marzo 2005

  ÍNDICE

Para ver el índice de secciones de cada capítulo cliquear en el número del capítulo.

 

Carátula. Dibujo: sistema hiperbólico en el toro bidimensional: dilata en una dirección y contrae en otra.

Capítulo 1. Dinámica que preserva medida, recurrencia y transitividad. (Links a archivos: .ps, .dvi,  .pdf)

Capítulo 2. Ergodicidad y mixing. (Links a archivos: .ps, .dvi,  .pdf)

Capítulo2-Complemento. Demostraciones de los teoremas ergódicos. (Links a archivos:  .ps, .dvi,  .pdf)

Capítulo 3. Teoría espectral de los automorfismos de medida.  (Links a archivos: .ps, .dvi,  .pdf)

Capítulo 4. Transformaciones de Bernoulli.  (Links a archivos: .ps, .dvi,  .pdf)

Capítulo 5. Exponentes de Liapunov y Teoría de Pesin. (Links a archivos: .ps, .dvi,  .pdf)

Capítulo 6. Medidas invariantes en espacios métricos compactos. (Links a archivos: .ps, .dvi,  .pdf)

Capítulo 7. Entropía.  (Links a archivos: .ps, .dvi,  .pdf)

Apéndice: Para seguir las notas es necesario disponer de las siguientes páginas del libro Introducao à Teoría Ergódica, de Ricardo Mañé, IMPA, Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 1983:

páginas 20 a 21, 32 a 35, 114 a 127, 130 a 134, 339 a 345.

 

CARÁTULA.  Dibujo: sistema hiperbólico en el toro bidimensional, dilata en una dirección y contrae en otra.

                                   Link a archivo : . doc Carátula.

 

CAPÍTULO 1. DINÁMICA QUE PRESERVA MEDIDA, RECURRENCIA Y TRANSITIVIDAD.

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Sección I.1 Dinámica de los automorfismos de medida. Pág. I. 1

Sección I:2 Dinámica topológica y diferenciable. Pág I.3

Sección I.3 Recurrencia. Pág. I.7

Sección I.4 Automorfismo lineal en el toro. Pág. I.8

Sección I.5 Transformación de Billar. Pág. I. 11

 

CAPÍTULO 2. ERGODICIDAD Y MIXING

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Sección II. 1 Teoremas ergódicos. Pág. II. 1

Sección II. 2 Ergodicidad. Pág. II. 4

Sección II. 3 Difeomorfismos de Anosov ergódicos en el toro. Pág. II. 6

Sección II. 4 Sistemas caóticos o expansivos. Pág. II. 8

Sección II. 5 Transformaciones mixing. Pág. II. 8

 

CAPÍTULO 2-COMPLEMENTO. DEMOSTRACIONES DE LOS TEOREMAS ERGÓDICOS.

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Sección II.C.1 Teorema ergódico maximal. Pág II.C.1

Sección II.C.2 Demostración del teorema ergódico de Birkhoff-Khinchin. Pág II.C.5

Sección II.C.3 Caracterización de la ergodicidad. Pág II.C.7

Sección II.C.4 Otras caracterizaciones de la ergodicidad. Pág II.C.10

 

CAPÍTULO 3. TEORÍA ESPECTRAL DE LOS AUTOMORFISMOS DE MEDIDA

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Sección III. 1 El operador U en L2. Pág. III. 1

Sección III. 2 Equivalencia espectral. Pág. III. 3

Sección III. 3 Bases de Fourier para el círculo y el toro. Pág. III. 3

Seccion III. 4 Ergodicidad de la rotación irracional del círculo. Pág. III.4

Sección III. 5 Espectro de Lebesgue. Pág. III.6

Sección III. 6 Automorfismos lineales en el toro con espectro de Lebesgue. Pág. III.

 

CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES DE BERNOULLI

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Sección IV. 1Es espacio del shift y su topología. Pág. IV.1

Sección IV. 2 Espacio de medida del shift de Bernoulli Pág IV. 3

Sección IV. 3 Ergodicidad del shift de Bernoulli Pág IV. 4

Sección IV. 4 Equivalencia de automorfismos de medida Pág IV. 6

Sección IV. 5 Transformaciones de Bernoulli Pág IV. 7

Sección IV. 6 Jerarquía ergódica Pág IV. 8

Sección IV. 7 Herradura de Smale Pág. IV. 8

 

CAPÍTULO 5. EXPONENTES DE LIAPUNOV Y TEORÍA DE PESIN

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Sección V. 1 Exponentes de Liapunov Pág. V.1

Sección V. 2 Teoría de Pesin Pág. V. 3

Sección V. 3 El caos desde el punto de vista medible. Pág V. 4

Sección V.4 Medidas físicas y medidas SRB. Pág. V.4

Sección V.5 Problemas abiertos de existencia de medidas físicas. Pág. V.6

 

CAPÍTULO 6. MEDIDAS INVARIANTES EN ESPACIOS MÉTRICOS COMPACTOS

                                  (Links a archivos: .ps, .dvi, .pdf)

Sección VI. 1 Teorema de existencia de medidas invariantes. Pág. VI.2

Sección VI. 2 Topología débil en el espacio de medidas de probabilidad. Pág VI. 4

Sección VI. 3 Transformaciones únicamente ergódicas Pág. VI. 6

Sección VI. 4 Medida de Haar. Pág. VI. 9

Sección VI. 5 Las medidas promediales. Pág. VI. 12

Sección VI. 6 Descomposición ergódica de las medidas invariantes. Pág. VI. 16

 

CAPÍTULO 7. ENTROPÍA.

                                  (Links a archivos: .ps, .dvi,  .pdf)

Sección VII. 1 Entropía de particiones Pág. VII. 2

Sección VII. 2 Refinamiento de particiones Pág. VII. 7

Sección VII. 3 Entropía de una transformación respecto a una partición Pág VII. 11

Sección VII. 4 Entropía métrica de una transformación Pág. VII. 15

Sección VII. 5 Entropía topológica de una transformación Pág. VII. 19

Sección VII. 6 Ejemplos de cálculo de entropía topológica Pág. VII. 25

 

APÉNDICE.  Para seguir las notas es necesario disponer de las siguientes páginas del libro Introducao à Teoría Ergódica, de Ricardo Mañé, IMPA, Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 1983:

Páginas 20 a 21: Transformación de Billar.

Páginas 32 a 35: Demostración de los teoremas de recurrencia de Poincaré.

Páginas 114 a 127: Demostración del Teorema Ergódico de Birkhoff y Corolarios.

Páginas 130 a 134: Caracterizaciones de la ergodicidad.

Páginas 339 a 345: Teorema de Oseledec y desigualdad de Ruelle.