Grafos generalizados de Paley sobre cuerpos finitos: estructura, espectro y aplicaciones

Dado un cuerpo finito $F_q$ y $k \mid q-1$, consideramos el grafo de Cayley $\Gamma(k,q) = Cay(F_q, R_k)$ donde $R_k=\{x^k : x\in \mathbb{F}_q^*\}$

Mostraremos que el espectro de estos grafos se puede calcular con periodos Gaussianos y daremos propiedades estructurales en términos de dicho espectro. Estudiaremos propiedades estructurales para estos grafos como ser bipartito o las componentes conexas. Estudiaremos la naturaleza del espectro (si es entero, real o complejo) y daremos condiciones aritméticas necesarias y suficientes para decidir esta naturaleza.

Finalmente, como aplicación, veremos que el diámetro de estos grafos resuelve el problema de Waring sobre cuerpos finitos y calcularemos algunos de éstos números.