La conjetura de Kakeya

Resumen: Imaginemos una aguja de longitud uno que queremos girar 180 grados, permitiéndonos
trasladarla libremente por el plano. El problema de Kakeya pregunta cuál es la menor área
de una región que permite realizar este movimiento. La respuesta resulta sorprendente:
existen regiones de área arbitrariamente pequeña en las que es posible hacerlo.
En esta charla veremos una construcción de Besicovitch, basada en árboles de Perron, que
explica cómo puede ocurrir este fenómeno. Esto nos llevará a una pregunta natural: si una
región puede tener un área tan pequeña como queramos y, al mismo tiempo, contener una
aguja en todas las direcciones, ¿qué significa realmente que un conjunto sea grande o
pequeño? Para abordar esta pregunta introduciremos las dimensiones de Minkowski y de
Hausdorff y terminaremos con la conjetura de Kakeya, que propone una forma precisa de
cuantificar el tamaño geométrico de estos conjuntos.