Durante el primer semestre 2024, se dictará el seminario de grado y posgrado de Teoría de Aproximación a cargo de Juan Pablo Borthagaray e Ignacio Bustamante.
El problema básico en la teoría de aproximación consiste en, dada una función "complicada" f en un cierto espacio X, hallar una función "sencilla" f_n, que sea cercana a f y que esté en un subconjunto pequeño X_n de X (acá n es un parámetro que da la pauta del tamaño de X_n, que puede o no ser un subespacio vectorial). Aparecen tres ingredientes: el espacio X, que típicamente es un espacio de Banach; la noción de distancia, que nos la puede dar la norma en X; y el conjunto de funciones sencillas X_n. Algunas opciones clásicas incluyen los polinomios algebraicos, los polinomios trigonométricos, o funciones polinomiales a trozos.
Una motivación para considerar este tipo de problemas surge de la resolución numérica de ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales). Uno de los objetivos principales de la teoría de ecuaciones diferenciales es decir lo más que se pueda respecto a la regularidad (suavidad) de la solución buscada. Intuitivamente, cuanto más suave sea una función, mejor se la debería poder aproximar. Muchos métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales se pueden resumir (muy groseramente!) en elegir adecuadamente los espacios X_n y hallar una aproximación f_n. Un método numérico es "bueno" cuando da lugar a aproximaciones de orden óptimo, esto es, cuando la distancia entre f_n y f es comparable con la distancia entre X_n y f. Una pregunta clave en la teoría de aproximación es cómo estimar esa distancia entre X_n y f en función de n: por ejemplo, a los efectos del método numérico, responder a esa pregunta permite obtener estimaciones de error.
Vamos a tener una reunión inicial para fijar horarios y distribuir temas el miércoles 6/3 a las 14:30 en el salón 101 de la Facultad de Ingeniería. Quien quiera participar del seminario y no pueda asistir a esa reunión, puede escribir para indicarme restricciones horarias y preferencias a jpborthagaray@fing.edu.uy