Aproximación jerárquica de matrices de rigidez para operadores no locales

Resumen: La discretización por elementos finitos de operadores no locales conduce, en general, a matrices de rigidez densas, cuya construcción y utilización pueden resultar costosas. En esta charla presentaremos una estrategia de aproximación jerárquica basada en separar las interacciones locales de aquellas que ocurren entre regiones geométricamente alejadas.

Tomando como modelo el Laplaciano fraccionario, utilizaremos la representación del gradiente fraccionario mediante potenciales de Riesz para expresar la energía del problema en términos de gradientes clásicos y un núcleo efectivo de interacción. Esta formulación conduce a una factorización exacta de la matriz de rigidez en matrices dispersas de gradientes y una matriz densa de interacciones entre elementos de la malla, la cual requiere aproximación de integrales singulares.

Describiremos la construcción de árboles de clusters y un criterio geométrico de admisibilidad que permite aproximar los bloques lejanos mediante matrices de rango bajo obtenidas por expansiones de Taylor. Presentaremos estimaciones explícitas del error de estas aproximaciones, que muestran su decaimiento con el grado del polinomio y su dependencia de la separación entre clusters, y mostraremos algunos experimentos numéricos para ilustrar el desempeño del método.