Caos rotacional para mapas no errantes del anillo

Resumen: Una estrategia para estudiar ciertos modelos de sistemas físicos consiste en encontrar superficies de sección transversales a la dinámica con un mapa discreto de retorno asociado, y de aquí surge la importancia de entender dinámicas discretas de superficies. En varios casos de relevancia, como lo es el problema de tres cuerpos circular restricto, se logra asegurar bajo ciertas hipótesis la existencia de un anillo de sección global. Este ejemplo, y cualquiera que venga de un sistema hamiltoniano, verifica que el mapa de retorno es conservativo: preserva una forma de área. De aquí proviene la motivación del objeto de estudio de esta charla: mapas no-errantes del anillo, entendiendo no-errante como una generalización topológica de preservar área. 

¿En qué términos medimos el caos de uno de estos mapas? Nos interesa medir el caos rotacional, esto es, el relacionado con la propia topología del anillo. Entendemos un mapa caótico del anillo como aquel que admite una herradura rotacional, es decir, una herradura con conjunto de rotación no trivial. 

Resultados recientes de Alejandro Passeggi y Fabio tal, dan condiciones de sencilla verificación para casos concretos que aseguran la existencia de caos rotacional para mapas no errantes. Simplificando, se necesita encontrar dos entornos pequeños disjuntos de puntos fijos de distinta rotación de forma tal que la órbita de un entorno intersecta al otro. En la charla hablaré de las ideas detrás de esta prueba y de un trabajo en progreso con Alejandro en el que pretendemos alivianar las hipótesis de forma de no necesitar localizar puntos fijos. Veremos las dificultades que surgen al quitar la hipótesis de los fijos y, si da tiempo, sobre qué ideas tenemos para dar información sobre la localización de esta herradura.